Vector Problems A19159

### 5. feladat: Vektor EF meghatározása az a és b vektorok segítségével 1. **Probléma megfogalmazása:** Adott az ABCD négyszög, ahol AB = $a$ és DC = $b$. Az AD oldal A-hoz közelebbi negyedelő pontja E, a BC oldal B-hez közelebbi negyedelő pontja F. Határozzuk meg az $\vec{EF}$ vektort az $a$ és $b$ vektorok segítségével. 2. **Fontos szabályok és képletek:** - A vektorok összeadása és kivonása komponensenként történik. - Ha egy pont egy szakasz negyedelő pontja, akkor a vektor az adott szakasz kezdőpontjától a negyedelő pontig $\frac{1}{4}$-e a teljes szakasz vektorának. 3. **Megoldás lépései:** - Jelöljük az $\vec{AB} = a$ és $\vec{DC} = b$. - Az $\vec{AD}$ és $\vec{BC}$ vektorokat nem ismerjük, de mivel ABCD négyszög, $\vec{AD} = \vec{DC} + \vec{CB} = b + (-a) = b - a$ (mivel $\vec{CB} = -\vec{BC} = -a$). - Pont E az AD oldal A-hoz közelebbi negyedelő pontja, tehát $$\vec{AE} = \frac{1}{4} \vec{AD} = \frac{1}{4}(b - a)$$ - Pont F a BC oldal B-hez közelebbi negyedelő pontja, tehát $$\vec{BF} = \frac{1}{4} \vec{BC} = \frac{1}{4}(-a) = -\frac{1}{4}a$$ - Az $\vec{EF}$ vektor: $$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$$ De $\vec{EB} = \vec{AB} - \vec{AE} = a - \frac{1}{4}(b - a) = a - \frac{1}{4}b + \frac{1}{4}a = \frac{5}{4}a - \frac{1}{4}b$ - Így: $$\vec{EF} = \left(\frac{5}{4}a - \frac{1}{4}b\right) + \left(-\frac{1}{4}a\right) = \frac{5}{4}a - \frac{1}{4}b - \frac{1}{4}a = \frac{4}{4}a - \frac{1}{4}b = a - \frac{1}{4}b$$ **Végső eredmény:** $$\boxed{\vec{EF} = a - \frac{1}{4}b}$$ --- ### 6. feladat: Vektorok szerkesztése 1. **Probléma megfogalmazása:** Adott az $a$, $b$, $c$ vektor. Szerkesszük meg az alábbi vektorokat: a) $a + 2b$ b) $a - \frac{1}{2} c$ c) $-a + \frac{2}{3} b - \frac{3}{4} c$ 2. **Fontos szabályok:** - Vektorok összeadása és kivonása komponensenként történik. - Skalárral való szorzás a vektor hosszának és irányának megváltoztatását jelenti. 3. **Megoldás lépései:** - a) $a + 2b$: $$\vec{a} + 2\vec{b}$$ Ez azt jelenti, hogy a $b$ vektort meg kell kétszerezni, majd hozzáadni az $a$ vektorhoz. - b) $a - \frac{1}{2} c$: $$\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{c}$$ A $c$ vektor felét kivonjuk az $a$ vektorból. - c) $-a + \frac{2}{3} b - \frac{3}{4} c$: $$-\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{c}$$ Az $a$ vektor ellentettjét vesszük, hozzáadjuk a $b$ vektor kétharmadát, majd kivonjuk a $c$ vektor háromnegyedét. **Ezek a vektorok szerkeszthetők a megfelelő irányok és arányok betartásával.** --- ### 7. feladat: Vektorok kifejezése az a, b, c vektorok segítségével egy kockában 1. **Probléma megfogalmazása:** Az ABCDEFGH kocka A csúcsából kiinduló élekvektorok $a$, $b$, $c$. Az $HG$ él felezőpontja $P$, a $BCGF$ lap középpontja $O$. Fejezzük ki az $\vec{AI}$, $\vec{BD}$, $\vec{AP}$, $\vec{AO}$ vektorokat az $a$, $b$, $c$ vektorok segítségével! 2. **Fontos szabályok:** - A kocka élei párhuzamosak és azonos hosszúságúak. - A vektorok összeadásával és skalárral való szorzásával kifejezhetők a kívánt vektorok. 3. **Megoldás lépései:** - $\vec{AI}$: Feltételezve, hogy $I$ a kocka egyik pontja, amelyet meg kell határozni, de nincs megadva, ezért feltételezzük, hogy $I$ az $A$-ból induló élek középpontja, például $I = A + \frac{1}{2}(a + b)$. $$\vec{AI} = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b$$ - $\vec{BD}$: $B$ és $D$ pontok a kocka csúcsai. $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -a + b$ - $\vec{AP}$: $P$ az $HG$ él felezőpontja. Az $H$ pont $A + a + b + c$, az $G$ pont $A + a + b$. Tehát $$\vec{AP} = \vec{AH} + \frac{1}{2} \vec{HG} = (a + b + c) + \frac{1}{2}(-c) = a + b + \frac{1}{2} c$$ - $\vec{AO}$: $O$ a $BCGF$ lap középpontja. A lap csúcsai: $B = A + b$, $C = A + a + b$, $G = A + a + b + c$, $F = A + b + c$. A középpont: $$O = A + b + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c$$ Tehát $$\vec{AO} = b + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c$$ **Végső eredmények:** $$\vec{AI} = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b$$ $$\vec{BD} = -a + b$$ $$\vec{AP} = a + b + \frac{1}{2} c$$ $$\vec{AO} = b + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c$$