Zamena Promene F7668F

1. Problem: Imamo integral $$\int \frac{dt}{\sqrt{4t^2+1}}$$ i želimo da ga rešimo. 2. Da bismo rešili ovaj integral, uvodimo zamenu promenljive $p$ da bismo pojednostavili izraz pod korenom. U ovom slučaju, definišemo $$p = 2t$$. 3. Razlog za ovu zamenu je što izraz pod korenom $$\sqrt{4t^2 + 1}$$ možemo napisati kao $$\sqrt{p^2 + 1}$$, što je jednostavniji oblik za integraciju. 4. Takođe, iz zamene dobijamo odnos između diferencijala: $$2dt = dp \Rightarrow dt = \frac{1}{2}dp$$. 5. Sada integral postaje $$\int \frac{dt}{\sqrt{4t^2+1}} = \int \frac{\frac{1}{2}dp}{\sqrt{p^2+1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dp}{\sqrt{p^2+1}}$$. 6. Ova zamena nam omogućava da koristimo poznate formule za integrale oblika $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}}$$, što je lakše rešiti. 7. Ukratko, uvodimo zamenu $p$ da bismo pojednostavili integral i olakšali njegovo rešavanje.