Question: Ejercicios: Grupo 3
4.- Si el siguiente esquema es falso:
{[(p \wedge q)\rightarrow r] \wedge s}\rightarrow (q \lor r)
Hallar el valor de verdad de:
I. [(p \lor s) \wedge q]\rightarrow (r \lor s)
II. p\rightarrow [q\rightarrow (r \wedge s)]
III. (\sim p \wedge q)\rightarrow \{p \lor (\sim q \lor r)\}
A) VVV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF
Graph/shape position_hint=center: implication arrow from {(p \wedge q)\rightarrow r} \wedge s to (q \lor r), with left curly brace and brackets around [(p \wedge q)\rightarrow r], and three numbered propositions I, II, III below.User: ayudame a resolver
1. **Planteamiento del problema:**
Se nos da que el esquema \(\{[(p \wedge q)\rightarrow r] \wedge s\} \rightarrow (q \lor r)\) es falso.
Queremos hallar el valor de verdad de las proposiciones:
I. \( [(p \lor s) \wedge q] \rightarrow (r \lor s) \)
II. \( p \rightarrow [q \rightarrow (r \wedge s)] \)
III. \( (\sim p \wedge q) \rightarrow \{p \lor (\sim q \lor r)\} \)
2. **Análisis del esquema falso:**
Para que una implicación \( A \rightarrow B \) sea falsa, \( A \) debe ser verdadera y \( B \) falsa.
Entonces:
\[
\{[(p \wedge q)\rightarrow r] \wedge s\} = \text{Verdadero}
\]
\[
(q \lor r) = \text{Falso}
\]
3. **Determinar valores de \(q\) y \(r\):**
\(q \lor r\) es falso solo si \(q = F\) y \(r = F\).
4. **Determinar valores de \(p\) y \(s\):**
Sabemos que \(\{[(p \wedge q)\rightarrow r] \wedge s\} = V\).
Como \(q = F\) y \(r = F\), evaluamos \((p \wedge q)\rightarrow r\):
\[
(p \wedge F) \rightarrow F = F \rightarrow F = V
\]
Entonces \([(p \wedge q)\rightarrow r] = V\).
Para que \(V \wedge s = V\), debe ser \(s = V\).
5. **Resumen de valores de verdad:**
\[
p = ? \quad q = F \quad r = F \quad s = V
\]
\(p\) puede ser verdadero o falso, lo determinaremos al evaluar las proposiciones.
6. **Evaluar proposición I:**
\[
[(p \lor s) \wedge q] \rightarrow (r \lor s)
\]
Sustituyendo valores:
\[
[(p \lor V) \wedge F] \rightarrow (F \lor V) = [V \wedge F] \rightarrow V = F \rightarrow V = V
\]
7. **Evaluar proposición II:**
\[
p \rightarrow [q \rightarrow (r \wedge s)]
\]
Evaluamos el interior:
\[
q \rightarrow (r \wedge s) = F \rightarrow (F \wedge V) = F \rightarrow F = V
\]
Entonces:
\[
p \rightarrow V = V
\]
Independientemente de \(p\), esta proposición es verdadera.
8. **Evaluar proposición III:**
\[
(\sim p \wedge q) \rightarrow \{p \lor (\sim q \lor r)\}
\]
Sustituyendo valores:
\[
(\sim p \wedge F) \rightarrow \{p \lor (V \lor F)\} = F \rightarrow (p \lor V) = F \rightarrow V = V
\]
9. **Conclusión:**
Los valores de verdad para I, II y III son:
\[
I = V, \quad II = V, \quad III = V
\]
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A) VVV.