Question: Simplifica las siguientes proposiciones logicas.
a) $[p \lor (\neg r \land q)] \land (p \lor \neg r)$
b) $[(p \lor q) \land (\neg p \land r)] \to (q \lor r)$
c) $\neg[(p \lor \neg q) \land ( p \lor q)]$
d) $(p \land q) \lor (p \land \neg q) \lor (\neg p \land \neg q)$
1. Planteamiento del problema: Simplificar las proposiciones lógicas dadas.
2. Recordemos algunas reglas importantes:
- Ley distributiva: $A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$ y $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$.
- Leyes de De Morgan: $\neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B$, $\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B$.
- Implicación: $A \to B$ es equivalente a $\neg A \lor B$.
- Leyes de identidad, dominación, idempotencia y complementación.
### a) Simplificar $[p \lor (\neg r \land q)] \land (p \lor \neg r)$
3. Aplicamos la ley distributiva para el primer término:
$$[p \lor (\neg r \land q)] = (p \lor \neg r) \land (p \lor q)$$
4. Entonces la expresión queda:
$$((p \lor \neg r) \land (p \lor q)) \land (p \lor \neg r)$$
5. Por asociatividad y idempotencia:
$$= (p \lor \neg r) \land (p \lor q) \land (p \lor \neg r) = (p \lor \neg r) \land (p \lor q)$$
6. Por distributiva:
$$= p \lor (\neg r \land q)$$
7. Por lo tanto, la expresión simplificada es:
$$\boxed{p \lor (\neg r \land q)}$$
### b) Simplificar $[(p \lor q) \land (\neg p \land r)] \to (q \lor r)$
8. Recordemos que $A \to B = \neg A \lor B$.
9. Entonces:
$$\neg [(p \lor q) \land (\neg p \land r)] \lor (q \lor r)$$
10. Aplicamos De Morgan a la negación:
$$[\neg (p \lor q)] \lor \neg (\neg p \land r) \lor (q \lor r)$$
11. Usando De Morgan:
$$ (\neg p \land \neg q) \lor (p \lor \neg r) \lor (q \lor r)$$
12. Agrupamos términos:
$$ (\neg p \land \neg q) \lor p \lor \neg r \lor q \lor r$$
13. Por idempotencia y leyes de dominación:
$$ (\neg p \land \neg q) \lor p \lor q \lor r \lor \neg r$$
14. Como $r \lor \neg r$ es una tautología (siempre verdadero), toda expresión con $\lor$ de tautología es tautología:
$$\boxed{\text{Verdadero}}$$
### c) Simplificar $\neg[(p \lor \neg q) \land ( p \lor q)]$
15. Aplicamos De Morgan:
$$\neg (p \lor \neg q) \lor \neg (p \lor q)$$
16. Aplicamos De Morgan a cada término:
$$ (\neg p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$$
17. Factorizamos $\neg p$:
$$ \neg p \land (q \lor \neg q)$$
18. Como $q \lor \neg q$ es tautología:
$$ \neg p \land \text{Verdadero} = \neg p$$
19. Por lo tanto:
$$\boxed{\neg p}$$
### d) Simplificar $(p \land q) \lor (p \land \neg q) \lor (\neg p \land \neg q)$
20. Agrupamos los dos primeros términos:
$$ p \land (q \lor \neg q) \lor (\neg p \land \neg q)$$
21. Como $q \lor \neg q$ es tautología:
$$ p \lor (\neg p \land \neg q)$$
22. Aplicamos la ley distributiva inversa:
$$ (p \lor \neg p) \land (p \lor \neg q)$$
23. Como $p \lor \neg p$ es tautología:
$$ \text{Verdadero} \land (p \lor \neg q) = p \lor \neg q$$
24. Por lo tanto:
$$\boxed{p \lor \neg q}$$