Determinants Examples C513D4

Question: User: هذا الملف المستندي عبارة عن عرض تقديمي (Slides) لـ "الجدول أو الفصل الأول: محددات (Determinants)" من كتاب/مقرر الجبر الخطي والهندسة التحليلية الفضائية (Linear Algebra and Spatial Analytic Geometry) من تقديم الأستاذة "Guo Mengshu" (郭梦舒) بجامعة هاربين للتكنولوجيا (Harbin Institute of Technology). أولاً: ملخص الشريحة والشرح العام للمحتوىيتناول هذا الملف 4 محاور رئيسية تمثل الهيكل الأساسي لنظرية المحددات: مفهوم المحدد من الرتبة $n$ ($n$-th Order Determinant): الحقل العددي (Number Field $F$): تعريف مجموعة من الأعداد المغلظة/المغلقة تحت العمليات الحسابية الأربع (جمع، طرح، ضرب، قسمة على غير الصفر)، مثل $Q, R, C$. المحددات ذات الرتب الصغرى (2 و 3): صيغ العمليات الحسابية لحل أنظمة المعادلات الخطية الصغرى باستخدام قطر رئيسي وقطر فرعي.التباديل/التبديلات (Permutations) وعدد العكوس (Inversions): لتعريف المحدد من الرتبة $n$ بصورة عامة، بناءً على المفهوم التركيبي وإشارة التباديل ($(-1)^{t}$). حالات خاصة مشهورة: المحدد القطري (Diagonal)، والمحدد المثلثي الأعلى/الأسفل (Upper/Lower Triangular) وقيمتهما تساوي حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي. خواص المحددات (Properties of Determinants): منقول المحدد ($D^T$): قيمة المحدد لا تتغير عند إيجاد المنقول ($D = D^T$). تبديل صفين/عمودين: تتغير إشارة المحدد. وجود صفين/عمودين متطابقين أو متناسبين: قيمة المحدد تساوي 0. العامل المشترك: يمكن سحب عامل مشترك من أي صف أو عمود. الخاصية التجميعية/الفصل: إذا كانت عناصر صف مكونة من مجموع حدين، يمكن تجزئة المحدد إلى مجموع محددين. إضافة مضاعف صف/عمود لآخر: قيمة المحدد لا تتغير (وهي الأساس لعمليات التحويل المثلثي). فك المحدد بواسطة الصفوف/الأعمدة (Expansion Theorems): العامل الأصغر (Minor $M_{ij}$) والعامل المساعد/الشرط الجبري (Cofactor $A_{ij}$): حregular صف وعمود العنصر وحساب الإشارة $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$. مبرهنة الفك (Laplace Expansion): إمكانية خفض رتبة المحدد $n$ إلى $n-1$. مبرهنة عدم التطابق: ضرب عناصر صف في العوامل المساعدة لصف آخر يساوي صفراً. محدد فانديرموند (Vandermonde Determinant) وأشكال خاصة أخرى (مثل المحدد الرمحي Claw-like، وطريقة الإضافة Add-border method). قاعدة كرامر (Cramer's Rule): تطبيق المحددات لحل أنظمة المعادلات الخطية المربعة التي يكون لها محدد معاملات $D \neq 0$. صيغ الحل الفريد: $x_i = \frac{D_i}{D}$. ثانياً: أهم المصطلحات العلمية (Key Terms)المصطلح بالإنكليزيةالمصطلح بالصينية (في الملف)المعنى بالعربيةNumber Field数域حقل عددي Determinant行列式محدد (أو قيمة المحدد) Order / Degree阶رتبة/درجة المحدد Main/Secondary Diagonal主/次对角线القطر الرئيسي / القطر الفرعي Permutation全排列الترتيب/التبديل الكلي Inversion Number逆序数عدد العكوس (عدد المرات التي يسبق فيها رقم كبيراً رقماً أصغر) Even/Odd Permutation偶/奇排列التباديل الزوجية / الفردية Transpose转置 ($D^T$)منقول المحدد Triangular Determinant上/下三角行列式محدد مثلثي علوي / سفلي Minor余子式 ($M_{ij}$)العامل الأصغر Cofactor代数余子式 ($A_{ij}$)العامل المساعد الجبري Vandermonde Determinant范德蒙德行列式محدد فانديرموند Cramer's RuleCramer 法则قاعدة كرامر ثالثاً: أمثلة وأسئلة مشروحة بالخطوات تفصيلياًمثال 1: حساب محدد من الرتبة الثانية والثالثة مباشرةالمطلوب (من الرتبة 2): أحسب قيمة المحدد $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}$. الخطوات:تطبيق قاعدة (حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي) - (حاصل ضرب عناصر القطر الفرعي). $D = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$. المطلوب (من الرتبة 3 بالفك): أحسب $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$ بالفك عن طريق الصف الأول. الخطوات:الصيغة: $D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$. $A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5 \times 9 - 6 \times 8) = 45 - 48 = -3$. $A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(4 \times 9 - 6 \times 7) = -(36 - 42) = 6$. $A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (4 \times 8 - 5 \times 7) = 32 - 35 = -3$. التعويض: $D = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0$. مثال 2: حساب محدد من الرتبة الرابعة بتحويله إلى صياغة مثلثية (Triangular Method)المطلوب: حساب $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & -4 & 7 \\ -1 & -2 & 5 & -8 \\ 1 & 3 & -5 & 10 \end{vmatrix}$. الخطوات:تصفير العمود الأول أسفل العنصر $a_{11}=1$: $r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1$$r_3 \leftarrow r_3 + r_1$$r_4 \leftarrow r_4 - r_1$نحصل على:$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 6 \end{vmatrix}$$تصفير العمود الثاني أسفل $a_{22}=-1$:$r_4 \leftarrow r_4 + r_2$نحصل على:$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}$$حساب المحدد المثلثي الأعلى: حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي: $D = 1 \times (-1) \times 2 \times 5 = -10$. مثال 3: تطبيق قاعدة كرامر (Cramer's Rule) المطلوب: حُل النظام الخطي الآتي لإيجاد $x_1$ و $x_2$: $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 3 \\ 4x_1 + 5x_2 = 6 \end{cases}$$الخطوات:حساب محدد المعاملات ($D$): $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (1 \times 5) - (2 \times 4) = 5 - 8 = -3$$بما أن $D = -3 \neq 0$، ف للنظام حل فريد حسب قاعدة كرامر. حساب المحدد $D_1$ (استبدال العمود الأول بحدود الثوابت): $$D_1 = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (2 \times 6) = 15 - 12 = 3$$حساب المحدد $D_2$ (استبدال العمود الثاني بحدود الثوابت): $$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (1 \times 6) - (3 \times 4) = 6 - 12 = -6$$استخراج قيم المتغيرات: $x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{3}{-3} = -1$ $x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-6}{-3} = 2$