Question: Cho ma trận $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}$ có các trị riêng $\lambda_1 = \lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 5$. Không gian riêng ứng với $\lambda_1 = -1$ có một cơ sở là:
1. **Nêu bài toán:**
Cho ma trận $$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{pmatrix}$$ với các trị riêng $$\lambda_1 = \lambda_2 = -1$$ và $$\lambda_3 = 5$$. Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng $$\lambda_1 = -1$$.
2. **Công thức và quy tắc:**
Không gian riêng ứng với trị riêng $$\lambda$$ là tập các vectơ $$\mathbf{v}$$ thỏa mãn:
$$
(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}
$$
Trong đó $$I$$ là ma trận đơn vị cùng kích thước với $$A$$.
3. **Tính toán:**
Với $$\lambda = -1$$, ta có:
$$
A - (-1)I = A + I = \begin{pmatrix}1+1 & 2 & 2 \\ 2 & 1+1 & 2 \\ 2 & 2 & 1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{pmatrix}
$$
4. **Giải hệ phương trình:**
Ta cần tìm vectơ $$\mathbf{v} = (x,y,z)^T$$ sao cho:
$$
\begin{pmatrix}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}
$$
Điều này tương đương với:
$$
2x + 2y + 2z = 0
$$
Hay:
$$
x + y + z = 0
$$
5. **Tìm cơ sở không gian riêng:**
Phương trình $$x + y + z = 0$$ có hai nghiệm độc lập, ví dụ:
- Chọn $$y = 0$$, $$z = 1$$ thì $$x = -1$$, vectơ $$(-1,0,1)$$.
- Chọn $$y = 1$$, $$z = 0$$ thì $$x = -1$$, vectơ $$(-1,1,0)$$.
6. **Kết luận:**
Cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng $$-1$$ là:
$$
\{(-1,0,1), (-1,1,0)\}
$$
7. **Chọn đáp án đúng:**
Đáp án D: $(-1,0,1)$ và $(-1,1,0)$.