Question: Cho ma trận $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
1. **Nêu bài toán:** Cho ma trận $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$, ta cần xác định ma trận này có chéo hóa được hay không và tìm các vectơ riêng.
2. **Công thức và quy tắc:** Ma trận $A$ chéo hóa được nếu và chỉ nếu nó có đủ số vectơ riêng độc lập tuyến tính bằng kích thước ma trận (ở đây là 2).
3. **Tính giá trị riêng:** Ta giải phương trình đặc trưng $$\det(A - \lambda I) = 0$$
$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)(2 - \lambda) - 0 = (2 - \lambda)^2 = 0$$
4. **Kết luận giá trị riêng:** Giá trị riêng duy nhất là $$\lambda = 2$$ với bội số đại số 2.
5. **Tìm vectơ riêng:** Giải hệ $$(A - 2I)\mathbf{x} = 0$$
$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Từ hàng 2: $$1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$$
Hàng 1 không cho thêm điều kiện.
6. **Vectơ riêng:** Vectơ riêng có dạng $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix}, t \neq 0$$, tức là vectơ riêng là $$(0,1)$$.
7. **Số vectơ riêng độc lập tuyến tính:** Chỉ có 1 vectơ riêng độc lập tuyến tính, trong khi bội số đại số là 2.
8. **Kết luận:** Ma trận $A$ không chéo hóa được vì không đủ vectơ riêng độc lập tuyến tính.
**Đáp án đúng là C:** Ma trận $A$ không chéo hóa được và có 1 vectơ riêng là $\{(0,1)\}$.