Question: Cho ma trận A = 3 -1 0 -1 3 0 0 0 8. Biết A có ba trị riêng $\lambda_1 = 2$; $\lambda_2 = 4$; $\lambda_3 = 8$, không gian riêng ứng với $\lambda_1 = 2$ có một cơ sở là $u_1 = (1,1,0)$; không gian riêng ứng với $\lambda_2 = 4$ có một cơ sở là $u_2 = (1,-1,0)$; không gian riêng ứng với $\lambda_3 = 8$ có một cơ sở là $u_3 = (0,0,1)$. Khi đó ma trận làm chéo hóa trực giao ma trận A là:

1. **Nêu bài toán:** Cho ma trận $A$ và các trị riêng $\lambda_1=2$, $\lambda_2=4$, $\lambda_3=8$ cùng các vector riêng tương ứng $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(1,-1,0)$, $u_3=(0,0,1)$. Yêu cầu tìm ma trận trực giao $P$ sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận chéo với các trị riêng trên đường chéo. 2. **Công thức và quy tắc:** - Ma trận $P$ gồm các vector riêng chuẩn hóa theo cột. - Ma trận $P$ phải trực giao, nghĩa là các vector cột phải vuông góc và có chuẩn bằng 1. - Ma trận chéo $D = P^{-1}AP$ có các trị riêng trên đường chéo tương ứng với thứ tự vector riêng trong $P$. 3. **Chuẩn hóa các vector riêng:** - $u_1 = (1,1,0)$ có chuẩn $\|u_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$, vector chuẩn hóa là $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$. - $u_2 = (1,-1,0)$ có chuẩn $\|u_2\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$, vector chuẩn hóa là $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$. - $u_3 = (0,0,1)$ đã chuẩn hóa vì chuẩn là 1. 4. **Xây dựng ma trận $P$:** - $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 5. **Ma trận chéo $D$ tương ứng:** - $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$ 6. **Kết luận:** Ma trận $P$ và $D$ như trên tương ứng với đáp án D. **Đáp án:** D. $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$.