Question: ทบทวนก่อนสอบกลางภาค 322 ต้น 69
(ข้อสอบจริงจะมีจำนวนข้อเยอะกว่านี้หน่อยนะคะ)
1. กำหนดเมทริกซ์ A = [ 5 -3
2 -1 ] และ B = [ 0 -1
1 0 ]
a. จงหาค่าของ tr (B^T A)
b. จงหาค่าของ ((A^T)^-1)
c. จงหาเมทริกซ์ C ที่ทำให้ (1/4 C^T)^-1 = A
d. เมทริกซ์ B เป็นเมทริกซ์มูลฐานหรือไม่ ถ้าเป็นให้ตอบว่าเกิดจากการกระทำ ERO
แบบใดกับเมทริกซ์ I_2
2. กำหนดเมทริกซ์ A = [ 2 2 0
1 0 1
0 1 1 ]
a. จงหาค่าของ det(A) โดยใช้วิธีกระจายโดยแฟกเตอร์เท่านั้น (ใช้แถวใดหรือหลักใดก็ได้)
b. จงหา A^-1
3. จงหาผลเฉลยของระบบสมการในตัวแปร x, y, z ที่อยู่ในรูปเมทริกซ์แต่งเติม [A|B]
(ถ้าข้อใดหาผลเฉลยไม่ได้ให้ระบุเหตุผล)
a. [ 1 2 0 | 4
0 -4 6 | -1
0 2 -3 | 1 ]
b. [ 1 0 1 | 1
0 4 2 | 6
0 0 3 | -9 ]
c. [ 1 0 2 | 5
0 2 -1 | -3
0 -4 2 | 6 ]
4. จงแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์ หรือใช้กฎของเครเมอร์
x + 2y + 2z = -1
x + 3y + z = 4
x + 3y + 2z = 3
position_hint: top-left
Graph/shape: blue title rectangle near the top-center; large faint diagonal gray watermark across the page; no plotted graph or axes.ทบทวนก่อนสอบกลางภาค 322 ภาคต้น 2569
Page | 2
1. **โจทย์:** กำหนดเมทริกซ์ $$A=\begin{bmatrix}5 & -3 \\ 2 & -1\end{bmatrix}$$ และ $$B=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$$
a. หาค่า $$\mathrm{tr}(B^T A)$$
**สูตร:** $$\mathrm{tr}(X) = \sum_i X_{ii}$$ และ $$B^T$$ คือเมทริกซ์ทรานสโพสของ $$B$$
**ขั้นตอน:**
1. หา $$B^T = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$$
2. คูณ $$B^T A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5 & -3 \\ 2 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\cdot5 + 1\cdot2 & 0\cdot(-3) + 1\cdot(-1) \\ -1\cdot5 + 0\cdot2 & -1\cdot(-3) + 0\cdot(-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -5 & 3\end{bmatrix}$$
3. หา $$\mathrm{tr}(B^T A) = 2 + 3 = 5$$
b. หาค่า $$((A^T)^{-1})$$
**สูตร:** $$A^T = \begin{bmatrix}5 & 2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}$$ และ $$ (A^T)^{-1} = \frac{1}{\det(A^T)} \mathrm{adj}(A^T)$$
**ขั้นตอน:**
1. หา $$\det(A^T) = 5\times(-1) - 2\times(-3) = -5 + 6 = 1$$
2. หา $$\mathrm{adj}(A^T) = \begin{bmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 5\end{bmatrix}$$
3. ดังนั้น $$((A^T)^{-1}) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & -2 \\ 3 & 5\end{bmatrix}$$
c. หาเมทริกซ์ $$C$$ ที่ทำให้ $$\left(\frac{1}{4} C^T\right)^{-1} = A$$
**สูตร:** $$\left(\frac{1}{4} C^T\right)^{-1} = 4 (C^T)^{-1} = A \Rightarrow (C^T)^{-1} = \frac{1}{4} A$$
**ขั้นตอน:**
1. หา $$C^T = 4 A^{-1}$$
2. หา $$A^{-1}$$ โดย
$$\det(A) = 5\times(-1) - (-3)\times 2 = -5 + 6 = 1$$
$$\mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ -2 & 5\end{bmatrix}$$
ดังนั้น $$A^{-1} = \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ -2 & 5\end{bmatrix}$$
3. ดังนั้น $$C^T = 4 \times \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ -2 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & 12 \\ -8 & 20\end{bmatrix}$$
4. ดังนั้น $$C = \left(C^T\right)^T = \begin{bmatrix}-4 & -8 \\ 12 & 20\end{bmatrix}$$
d. เมทริกซ์ $$B$$ เป็นเมทริกซ์มูลฐานหรือไม่
**คำตอบ:** เมทริกซ์ $$B = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$$ เป็นเมทริกซ์มูลฐาน (Elementary matrix) เนื่องจากเกิดจากการสลับแถวที่ 1 และ 2 ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ $$I_2$$
2. กำหนดเมทริกซ์ $$A=\begin{bmatrix}2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$
a. หาค่า $$\det(A)$$ โดยใช้การกระจายแฟกเตอร์
**ขั้นตอน:**
1. เลือกแถวที่ 1 กระจายแฟกเตอร์
2. $$\det(A) = 2 \times \det\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} - 2 \times \det\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} + 0 \times \det(...)$$
3. คำนวณ
$$\det\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = 0\times1 - 1\times1 = -1$$
$$\det\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = 1\times1 - 1\times0 = 1$$
4. ดังนั้น
$$\det(A) = 2\times(-1) - 2\times1 + 0 = -2 - 2 = -4$$
b. หา $$A^{-1}$$
**สูตร:** $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{adj}(A)$$
**ขั้นตอน:**
1. หาเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ของ $$A$$
$$C = \begin{bmatrix} \det\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} & -\det\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} & \det\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ -\det\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix} & \det\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} & -\det\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ \det\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 1\end{bmatrix} & -\det\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix} & \det\begin{bmatrix}2 & 2 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \end{bmatrix}$$
2. คำนวณแต่ละโคแฟกเตอร์
$$C = \begin{bmatrix}0\times1 - 1\times1 & -(1\times1 - 0\times1) & 1\times1 - 0\times0 \\ -(2\times1 - 0\times1) & 2\times1 - 0\times0 & -(2\times1 - 2\times0) \\ 2\times1 - 0\times1 & -(2\times0 - 2\times1) & 2\times0 - 2\times1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & -1 & 1 \\ -2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2\end{bmatrix}$$
3. หา $$\mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}-1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{bmatrix}$$
4. ดังนั้น
$$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix}-1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$$
3. ระบบสมการในรูปเมทริกซ์แต่งเติม [A|B]
a. $$\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & -4 & 6 & | & -1 \\ 0 & 2 & -3 & | & 1\end{bmatrix}$$
**แก้ระบบ:**
1. ใช้แถวที่ 2 และ 3 เพื่อกำจัด
2. คูณแถว 2 ด้วย $$\frac{1}{-4}$$
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & \frac{1}{4} \\ 0 & 2 & -3 & | & 1\end{bmatrix}$$
3. ลบ 2 เท่าของแถว 2 จากแถว 3
$$\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$$
4. แถว 3 เป็น $$0x + 0y + 0z = \frac{1}{2}$$ ซึ่งเป็นสมการที่ขัดแย้ง ไม่มีคำตอบ
**คำตอบ:** ระบบสมการไม่มีคำตอบ
4. แก้ระบบสมการ
$$\begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ x + 3y + z = 4 \\ x + 3y + 2z = 3 \end{cases}$$
**ขั้นตอน:**
1. ลบสมการที่ 1 จากสมการที่ 2 และ 3
$$\begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ (x - x) + (3y - 2y) + (z - 2z) = 4 - (-1) \\ (x - x) + (3y - 2y) + (2z - 2z) = 3 - (-1) \end{cases}$$
$$\Rightarrow \begin{cases} x + 2y + 2z = -1 \\ y - z = 5 \\ y = 4 \end{cases}$$
2. แทนค่า $$y=4$$ ในสมการที่สอง
$$4 - z = 5 \Rightarrow z = -1$$
3. แทนค่า $$y=4$$ และ $$z=-1$$ ในสมการแรก
$$x + 2(4) + 2(-1) = -1 \Rightarrow x + 8 - 2 = -1 \Rightarrow x + 6 = -1 \Rightarrow x = -7$$
**คำตอบ:** $$x = -7, y = 4, z = -1$$