1. **Problemstellung:** Wir sollen die quadratische Form $$Q(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 - 3x_1x_3 - 9x_2^2 + 6x_2x_3 + 13x_3^2$$ vereinfachen durch quadratische Ergänzung. 2. **Ziel:** Einen invertierbaren Koordinatenwechsel finden, sodass $$Q(u) = u_1^2 + u_2^2 - u_3^2$$ wird. 3. **Schritt 1: Quadratische Ergänzung der Terme mit $x_1$ und $x_2$:** Betrachte die Terme $$x_1^2 + 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_2^2$$ Setze $$y_1 := x_1 + x_2$$ Dann wird $$Q = y_1^2 - x_2^2 - 3x_1x_3 - 9x_2^2 + 6x_2x_3 + 13x_3^2$$ 4. **Schritt 2: Ersetze $x_1 = y_1 - x_2$ in den restlichen Termen:** $$-3x_1x_3 = -3(y_1 - x_2)x_3 = -3y_1x_3 + 3x_2x_3$$ Also $$Q = y_1^2 - x_2^2 - 3y_1x_3 + 3x_2x_3 - 9x_2^2 + 6x_2x_3 + 13x_3^2$$ Fasse $x_2$- und $x_3$-Terme zusammen: $$Q = y_1^2 - x_2^2 - 3y_1x_3 + (3x_2x_3 + 6x_2x_3) - 9x_2^2 + 13x_3^2 = y_1^2 - x_2^2 - 3y_1x_3 + 9x_2x_3 - 9x_2^2 + 13x_3^2$$ 5. **Schritt 3: Quadratische Form in $x_2, x_3$ isolieren:** Betrachte $$- x_2^2 + 9x_2x_3 - 9x_2^2 + 13x_3^2 = -10x_2^2 + 9x_2x_3 + 13x_3^2$$ 6. **Schritt 4: Quadratische Ergänzung für $x_2, x_3$:** Wir schreiben $$-10x_2^2 + 9x_2x_3 + 13x_3^2 = a(x_2 + b x_3)^2 + c x_3^2$$ Entwickle: $$a(x_2 + b x_3)^2 + c x_3^2 = a x_2^2 + 2ab x_2 x_3 + (a b^2 + c) x_3^2$$ Vergleiche Koeffizienten: $$a = -10$$ $$2ab = 9 \Rightarrow 2 \cdot (-10) \cdot b = 9 \Rightarrow b = -\frac{9}{20}$$ $$a b^2 + c = 13 \Rightarrow -10 \cdot \left(-\frac{9}{20}\right)^2 + c = 13$$ Berechne: $$-10 \cdot \frac{81}{400} + c = 13 \Rightarrow -\frac{810}{400} + c = 13 \Rightarrow c = 13 + \frac{81}{40} = \frac{520}{40} + \frac{81}{40} = \frac{601}{40}$$ 7. **Schritt 5: Setze neue Koordinaten:** $$y_2 := x_2 - \frac{9}{20} x_3$$ $$y_3 := x_3$$ Dann gilt $$-10 x_2^2 + 9 x_2 x_3 + 13 x_3^2 = -10 y_2^2 + \frac{601}{40} y_3^2$$ 8. **Schritt 6: Gesamtausdruck:** $$Q = y_1^2 - 3 y_1 y_3 - 10 y_2^2 + \frac{601}{40} y_3^2$$ 9. **Schritt 7: Quadratische Ergänzung für $y_1$ und $y_3$:** Betrachte $$y_1^2 - 3 y_1 y_3 + \frac{601}{40} y_3^2$$ Schreibe als $$(y_1 - \frac{3}{2} y_3)^2 + \left(\frac{601}{40} - \frac{9}{4}\right) y_3^2$$ Berechne: $$\frac{601}{40} - \frac{9}{4} = \frac{601}{40} - \frac{90}{40} = \frac{511}{40}$$ 10. **Schritt 8: Setze neue Koordinaten:** $$u_1 := y_1 - \frac{3}{2} y_3$$ $$u_2 := y_2$$ $$u_3 := y_3$$ Dann ist $$Q = u_1^2 - 10 u_2^2 + \frac{511}{40} u_3^2$$ 11. **Schritt 9: Normiere $u_2$ und $u_3$ für gewünschte Form:** Setze $$v_2 := \sqrt{10} u_2$$ $$v_3 := \sqrt{\frac{511}{40}} u_3$$ Dann $$Q = u_1^2 - v_2^2 + v_3^2$$ 12. **Schritt 10: Vertausche $v_2$ und $v_3$ Vorzeichen für die gewünschte Form:** Setze $$w_1 := u_1$$ $$w_2 := v_3$$ $$w_3 := v_2$$ Dann $$Q = w_1^2 + w_2^2 - w_3^2$$ **Antwort:** Der invertierbare Koordinatenwechsel ist $$\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 \\ y_2 = x_2 - \frac{9}{20} x_3 \\ y_3 = x_3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} u_1 = y_1 - \frac{3}{2} y_3 \\ u_2 = y_2 \\ u_3 = y_3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} w_1 = \nu_1 \\ w_2 = \sqrt{\frac{511}{40}} \nu_3 \\ w_3 = \sqrt{10} \nu_2 \end{cases}$$ und $$Q = w_1^2 + w_2^2 - w_3^2$$