1. **Aufgabe 3: Zeigen, dass es einen Punkt C gibt, sodass ABCD ein Quadrat ist, und C bestimmen** Gegeben sind Punkte A(-2|2|3), B(2|10|4) und D(5|-2|7). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und alle Winkel sind 90°. Formel: Für Vektoren gilt, dass zwei Vektoren orthogonal sind, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$ Schritte: 1. Berechne die Vektoren $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2 - (-2), 10 - 2, 4 - 3) = (4, 8, 1)$ und $\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (5 - (-2), -2 - 2, 7 - 3) = (7, -4, 4)$. 2. Da ABCD ein Quadrat sein soll, ist $\vec{AB}$ orthogonal zu $\vec{AD}$, also: $$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \cdot 7 + 8 \cdot (-4) + 1 \cdot 4 = 28 - 32 + 4 = 0$$ 3. Der Punkt C kann durch $\vec{C} = \vec{B} + \vec{AD} = (2 + 7, 10 - 4, 4 + 4) = (9, 6, 8)$ bestimmt werden. 4. Prüfe die Seitenlängen: $$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 8^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9$$ $$|\vec{AD}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$$ 5. Prüfe $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (9 - 2, 6 - 10, 8 - 4) = (7, -4, 4)$ und $\vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (9 - 5, 6 - (-2), 8 - 7) = (4, 8, 1)$, die gleich lang und orthogonal sind. **Antwort:** Der Punkt $C = (9, 6, 8)$ macht ABCD zu einem Quadrat. --- 2. **Aufgabe 6a): Drei Vektoren angeben, die orthogonal zu $\vec{a} = (0, 1, 0)$ sind** Regel: Ein Vektor $\vec{v} = (x, y, z)$ ist orthogonal zu $\vec{a}$, wenn: $$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = y = 0$$ Das bedeutet, alle Vektoren mit $y=0$ sind orthogonal zu $\vec{a}$. Beispiele: 1. $\vec{v}_1 = (1, 0, 0)$ 2. $\vec{v}_2 = (0, 0, 1)$ 3. $\vec{v}_3 = (2, 0, -3)$ Alle haben die zweite Komponente 0 und sind somit orthogonal zu $\vec{a}$. --- 3. **Aufgabe 7b): Zwei Vektoren bestimmen, die sowohl auf $\vec{a} = (2, 3, -1)$ als auch auf $\vec{b} = (5, -1, -2)$ senkrecht stehen** Regel: Ein Vektor $\vec{v} = (x, y, z)$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$, wenn: $$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0 \quad \text{und} \quad \vec{b} \cdot \vec{v} = 0$$ Das ergibt das Gleichungssystem: $$2x + 3y - z = 0$$ $$5x - y - 2z = 0$$ Lösen: 1. Aus erster Gleichung: $$z = 2x + 3y$$ 2. Einsetzen in zweite Gleichung: $$5x - y - 2(2x + 3y) = 0 \Rightarrow 5x - y - 4x - 6y = 0 \Rightarrow x - 7y = 0 \Rightarrow x = 7y$$ 3. Setze $x = 7y$ in $z = 2x + 3y$: $$z = 2(7y) + 3y = 14y + 3y = 17y$$ 4. Wähle $y = 1$, dann: $$\vec{v} = (7, 1, 17)$$ 5. Für zweiten Vektor wähle $y = 0$, dann $x = 0$ und $z = 0$ trivial, also wähle $y = 1$ und variiere: Alternativ wähle $y = 0$, dann aus erster Gleichung: $$2x - z = 0 \Rightarrow z = 2x$$ Aus zweiter Gleichung: $$5x - 2z = 0 \Rightarrow 5x - 2(2x) = 5x - 4x = x = 0$$ Also $x=0$, dann $z=0$, und $y$ beliebig, z.B. $\vec{v}_2 = (0, 1, 0)$. **Antwort:** Zwei Vektoren sind $\vec{v}_1 = (7, 1, 17)$ und $\vec{v}_2 = (0, 1, 0)$.