Question: c. \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x + y > 0
d. \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y^2 > x
(i) Les assertions a, b, c et d sont-elles vraies ?
(ii) Donner leur négation.
28. Démontrer: directement, puis par l’absurde que
A \subset B \iff A \cap B = A
A \subset B \iff B \subset \overline{A}
\bigcup_{t \in T} A_t = \bigcap_{t \in T} \overline{A_t}
\bigcap_{t \in T} A_t = \bigcup_{t \in T} \overline{A_t}.
29. Let A = \{x, y, z\}. How many subsets does A contain?
30. Does every set have a proper subset?
1. **Énoncé du problème :**
- c. \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x + y > 0
- d. \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y^2 > x
(i) Vérifier la vérité des assertions.
(ii) Donner leur négation.
2. **Analyse de c :**
- La proposition dit que pour tous réels $x$ et $y$, $x + y > 0$.
- Contre-exemple : prendre $x = -1$, $y = 0$ alors $x + y = -1 \not> 0$.
- Donc c est **fausse**.
3. **Négation de c :**
- Négation de $\forall x \forall y, P(x,y)$ est $\exists x \exists y, \neg P(x,y)$.
- Donc négation : $\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x + y \leq 0$.
4. **Analyse de d :**
- $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y^2 > x$.
- Prenons $x = -1$, alors pour tout $y$, $y^2 \geq 0 > -1$, donc vrai.
- Donc d est **vraie**.
5. **Négation de d :**
- Négation de $\exists x \forall y, P(x,y)$ est $\forall x \exists y, \neg P(x,y)$.
- Donc négation : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, y^2 \leq x$.
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6. **Démonstration de 28 :**
- Montrer $A \subset B \iff A \cap B = A$.
- $(\Rightarrow)$ Si $A \subset B$, alors tout élément de $A$ est dans $B$, donc $A \cap B = A$.
- $(\Leftarrow)$ Si $A \cap B = A$, alors tout élément de $A$ est dans $B$, donc $A \subset B$.
- Par l'absurde, supposer $A \subset B$ faux, alors il existe $a \in A$ non dans $B$, donc $a \notin A \cap B$, contradiction.
7. Montrer $A \subset B \iff B \subset \overline{A}$ est **faux** en général (probablement erreur dans l'énoncé).
8. Montrer $\bigcup_{t \in T} A_t = \bigcap_{t \in T} \overline{A_t}$ est **faux** en général (probablement erreur, la bonne formule est $\overline{\bigcup_{t \in T} A_t} = \bigcap_{t \in T} \overline{A_t}$).
9. Montrer $\bigcap_{t \in T} A_t = \bigcup_{t \in T} \overline{A_t}$ est aussi **faux** en général (la bonne formule est $\overline{\bigcap_{t \in T} A_t} = \bigcup_{t \in T} \overline{A_t}$).
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10. **Question 29 :**
- $A = \{x,y,z\}$ a $3$ éléments.
- Nombre de sous-ensembles est $2^3 = 8$.
11. **Question 30 :**
- Toute ensemble non vide a au moins un sous-ensemble propre (exemple : ensemble vide).
- L'ensemble vide $\emptyset$ n'a pas de sous-ensemble propre car il n'a aucun élément.
- Donc **non**, pas tous les ensembles ont un sous-ensemble propre.
**Réponses finales :**
- c est fausse, négation $\exists x \exists y, x + y \leq 0$.
- d est vraie, négation $\forall x \exists y, y^2 \leq x$.
- $A \subset B \iff A \cap B = A$ est vrai.
- $A = \{x,y,z\}$ a $8$ sous-ensembles.
- Pas tous les ensembles ont un sous-ensemble propre (exemple $\emptyset$).