Question: User: Prof : Abderrahim BENNAOUI
Notions de logique
Série 01
Classe :1 bac SMF
Exercice 1
Determiner la valeur de vérité des propositions suivantes :
1 (\forall x \in \mathbb{R}) ; x^2 \geq 1
2 (\forall x \in \mathbb{R}) ; x^2 \geq x
3 (\exists n \in \mathbb{N}) ; 3n + 1 = 0
4 (\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 - 3x + 1 = 0
5 (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) ; |x + y| = |x| + |y|
6 (\forall n \in \mathbb{N}) ; \sqrt{16n^2 + 8n + 1} \in \mathbb{N}
7 (\forall m \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 + mx + m - 1 = 0
Exercice 2
Exprimer les propositions suivantes à l’aide des quantificateurs et
connecteurs logiques puis indiquer la valeur de vérité de chacune
d’elles :
1 P1 : « Il n’existe aucun rationnel solution de l’équation
x^2 - 2 = 0 ».
2 P2 : « Pour tous rationnels x et y tels que x < y il existe
un rationnel z tel que : x < z < y ».
3 P3 : « Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif p
tel que : p \leq x < p + 1 ».
4 P4 : « Pour tout entier naturel n, il existe un entier naturel
m tel que : n \leq m + 2 ».
5 P5 : « Pour tous réels x et y, \sqrt{y + 1} + (x - 1)^2 = 0 si, et
seulement si : x = 1 et y = -1 ».
6 P6 : « Pour tout réel x, si x \in [1 ; +\infty[ alors x^2 \geq x ».
7 P7 : « Tout entier naturel divisible par 3 est divisible par 9 ».
Exercice 3
Soit P, Q et R trois propositions. Montrer que les propositions
suivantes sont des tautologies :
1 (P \Rightarrow Q) \Rightarrow [(Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)]
2 (P \Rightarrow Q) \Rightarrow [(P \wedge R) \Rightarrow (Q \wedge R)]
3 (P \Rightarrow Q) \Rightarrow [(P \vee R) \Rightarrow (Q \vee R)]
Exercice 4
Soient les quatre propositions suivantes :
P : (\forall y \in \mathbb{R}^*) (\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 - xy + y^2 = 0
Q : (\forall x \in \mathbb{R}) ; \sqrt{1 + x^2} - |x| \geq 0
R : (\forall x \in [1 ; +\infty[) ; (x^2 \geq 1 \wedge x^2 + 2x - 3 \geq 0)
S : (\exists x \in \mathbb{R}^+) ; (x^2 \leq x \vee 1 + \frac{1}{x} < 0)
1 Les propositions P, Q, R et S sont-elles vraies ou fausses ?
2 Donner leur négation.
Exercice 5
1 x \in \mathbb{R}^+ Montrer que : \frac{1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \sqrt{x} \Rightarrow x = 0
2 Montrer que : (\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2) ; a^2 + b^2 = 0 \Rightarrow a = 0 \wedge b = 0
3 x \in \mathbb{R}^+ et y \in \mathbb{R}^+ Montrer que :
x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x = y = 1
4 Montrer que : (\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2) ; a^2 + b^2 = 1 \Rightarrow |a + b| \leq \sqrt{2}
5 Montrer que si a \in \mathbb{Q} et b \in \mathbb{Q} alors a + b \in \mathbb{Q}
Exercice 6
Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
1 P : (\forall x \in [0;1]) ; x^2 \geq x
2 Q : (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) ; x^2 + y^2 \geq x + y
3 R : (\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2) ; \sqrt{a^2 + b^2} = a + b
4 S : (\forall x \in \mathbb{R}^*) ; x + \frac{1}{x} \geq 2
5 U : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) ; x^2 - xy + y^2 = 0
Exercice 7
1 Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :
(E1) : x^2 - |x - 2| + 5 = 0
(E2) : |x - 1| + |2x - 3| = |5x - 10|
(E3) : \sqrt{2x + 19 - 8\sqrt{2x + 3}} + \sqrt{2x + 7 - 4\sqrt{2x + 3}} = 6
(Remarquer que : 7 = 3 + 2^2 et 19 = 3 + 4^2)
2 Montrer que : \forall x \in \mathbb{R}, |x - 1| \leq x^2 - x + 1
3 Résoudre dans \mathbb{R} les inéquations suivantes :
\sqrt{x^2 - 5x + 6} > x + 4 ; |x - 1| + 2x - 3 \geq 0
4 Résoudre dans \mathbb{R}^2 le système suivant :
{ 2|x + 1| - y = 4
|x + 2| + 2y = 6 }
5 Montrer que le nombre n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6
pour tout n \in \mathbb{N}.
Exercice 8
1 Soit n \in \mathbb{N}. Montrer que si n^2 est pair alors n est pair.
2 Montrer que si l’entier n^2 - 1 n’est pas divisible par 8,
alors l’entier n est pair
1 2/2
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1. **Énoncé du problème :** Déterminer la valeur de vérité des propositions logiques données.
2. **Rappel des quantificateurs :**
- \(\forall\) signifie "pour tout".
- \(\exists\) signifie "il existe".
3. **Analyse des propositions de l'Exercice 1 :**
**1.** \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 1\)
- Cette proposition affirme que pour tout réel \(x\), \(x^2\) est supérieur ou égal à 1.
- Contre-exemple : \(x=0\) donne \(0^2=0 < 1\).
- Donc, la proposition est **fausse**.
**2.** \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq x\)
- Étudions \(x^2 - x \geq 0\).
- Factorisation : \(x(x-1) \geq 0\).
- Cette inéquation est vraie pour \(x \leq 0\) ou \(x \geq 1\), mais fausse pour \(0 < x < 1\).
- Donc, la proposition est **fausse**.
**3.** \(\exists n \in \mathbb{N}, 3n + 1 = 0\)
- \(3n + 1 = 0 \Rightarrow n = -\frac{1}{3}\), qui n'est pas un naturel.
- Donc, la proposition est **fausse**.
**4.** \(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 - 3x + 1 = 0\)
- Calcul du discriminant : \(\Delta = 9 - 4 = 5 > 0\).
- Deux solutions réelles existent.
- Donc, la proposition est **vraie**.
**5.** \(\forall x,y \in \mathbb{R}, |x + y| = |x| + |y|\)
- L'inégalité triangulaire dit \(|x + y| \leq |x| + |y|\), égalité seulement si \(x,y\) ont même signe.
- Donc, la proposition est **fausse**.
**6.** \(\forall n \in \mathbb{N}, \sqrt{16n^2 + 8n + 1} \in \mathbb{N}\)
- Examinons \(16n^2 + 8n + 1 = (4n + 1)^2\) car \((4n+1)^2 = 16n^2 + 8n + 1\).
- Donc, \(\sqrt{16n^2 + 8n + 1} = 4n + 1 \in \mathbb{N}\).
- Proposition **vraie**.
**7.** \(\forall m \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + mx + m - 1 = 0\)
- Le discriminant est \(\Delta = m^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2 \geq 0\).
- Toujours deux solutions réelles (possiblement égales).
- Donc, proposition **vraie**.
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**Résumé des valeurs de vérité Exercice 1 :**
1. Fausse
2. Fausse
3. Fausse
4. Vraie
5. Fausse
6. Vraie
7. Vraie
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Pour les autres exercices, veuillez préciser ceux que vous souhaitez résoudre en priorité.