Question: Examen Parcial – Matemática Básica (Contabilidad)
1. Entre los alumnos de una Universidad se realizó una encuesta, de la cual se
obtuvieron los siguientes resultados: El 55% de los encuestados aprobaron Física, el
30% aprobaron Matemática, el 50% aprobaron Economía, el 10% aprobaron los tres
cursos; el 40% de los que aprobaron Física no aprobaron ningún otro de los dos
cursos, mientras que el 20% de los que aprobaron Física también aprobaron
Matemática, pero no Economía. El 14% de los encuestados no aprobó ninguno de los
tres cursos. Si se sabe que 256 de los encuestados aprobaron Matemática y Economía,
determinar
a. ¿Cuántos aprobaron los tres cursos?
b. ¿Cuántos aprobaron Matemática y Economía, pero no Física?
c. ¿Cuántos aprobaron al menos dos cursos?
2. Resolver la siguiente inecuación
a. $x^5 + 6x^4 + 4x^3 - 42x^2 - 113x^3 - 108x - 36 \geq 0$
b. $x^5 - 21x^3 + 16x^2 + 108x - 144 < 0$
3. Resolver la siguiente inecuación
$\frac{\sqrt{27} - x \sqrt[\,n]{x^2} - 14x - 15 (x - 2)^4 \sqrt[3]{x} + 8 (x - 3)^5}{\sqrt[4]{x} + 9 (x^2 + 7x - 8) (x - 27)^3 (x^3 - 27)} \leq 0$
4. Resolver
$\left| \frac{x - 2}{x + 1} \right| \leq \frac{x + 3}{x - 6}$
$\log_{\frac{1}{2}} \left| \frac{4x - 11}{2x^2 - 4x - 6} \right| \leq -1$
$\log \left| \frac{2x - 3}{x + 1} \right| > 1$
1. Problema de encuestas:
Sea $N$ el total de encuestados.
Datos:
- $P(F) = 0.55$
- $P(M) = 0.30$
- $P(E) = 0.50$
- $P(F \cap M \cap E) = 0.10$
- $P(F \text{ solo}) = 0.40 \times 0.55 = 0.22$
- $P(F \cap M \cap E^c) = 0.20 \times 0.55 = 0.11$
- $P(\text{ninguno}) = 0.14$
- $256 = N \times P(M \cap E)$
1.1 Calcular $N$:
$$256 = N \times P(M \cap E)$$
Sabemos que:
$$P(M \cap E) = P(F \cap M \cap E) + P(M \cap E \cap F^c)$$
Sea $x = P(M \cap E \cap F^c)$.
Entonces:
$$0.30 = P(M) = P(F \cap M \cap E) + P(F \cap M \cap E^c) + x$$
Ya tenemos $P(F \cap M \cap E) = 0.10$ y $P(F \cap M \cap E^c) = 0.11$, entonces:
$$0.30 = 0.10 + 0.11 + x \Rightarrow x = 0.09$$
Por lo tanto:
$$P(M \cap E) = 0.10 + 0.09 = 0.19$$
Ahora:
$$256 = N \times 0.19 \Rightarrow N = \frac{256}{0.19} = 1347.37 \approx 1347$$
1.a. ¿Cuántos aprobaron los tres cursos?
$$N \times P(F \cap M \cap E) = 1347 \times 0.10 = 134.7 \approx 135$$
1.b. ¿Cuántos aprobaron Matemática y Economía, pero no Física?
$$N \times P(M \cap E \cap F^c) = 1347 \times 0.09 = 121.23 \approx 121$$
1.c. ¿Cuántos aprobaron al menos dos cursos?
$$P(\text{al menos dos}) = P(F \cap M) + P(F \cap E) + P(M \cap E) - 2P(F \cap M \cap E)$$
Sabemos:
$$P(F \cap M) = P(F \cap M \cap E) + P(F \cap M \cap E^c) = 0.10 + 0.11 = 0.21$$
$$P(F \cap E) = P(F \cap M \cap E) + P(F \cap E \cap M^c)$$
Pero $P(F \cap E \cap M^c) = P(F) - P(F \cap M \cap E) - P(F \cap M \cap E^c) - P(F \text{ solo}) = 0.55 - 0.10 - 0.11 - 0.22 = 0.12$
Entonces:
$$P(F \cap E) = 0.10 + 0.12 = 0.22$$
Ya tenemos $P(M \cap E) = 0.19$ y $P(F \cap M \cap E) = 0.10$.
Por lo tanto:
$$P(\text{al menos dos}) = 0.21 + 0.22 + 0.19 - 2 \times 0.10 = 0.52$$
Número de personas:
$$1347 \times 0.52 = 700.44 \approx 700$$
2.a Resolver $x^5 + 6x^4 + 4x^3 - 42x^2 - 113x^3 - 108x - 36 \geq 0$
Simplificamos términos semejantes:
$$4x^3 - 113x^3 = -109x^3$$
Entonces la inecuación es:
$$x^5 + 6x^4 - 109x^3 - 42x^2 - 108x - 36 \geq 0$$
Factorizamos por prueba de raíces racionales y división sintética:
$$ (x + 1)^2 (x - 3)^2 (x - 4) \geq 0$$
Los ceros son $x = -1, 3, 4$ con multiplicidades 2, 2 y 1.
Signo de la expresión:
- Para $x < -1$, positivo.
- Entre $-1$ y $3$, positivo.
- Entre $3$ y $4$, positivo.
- Para $x > 4$, positivo.
Por ser potencias pares, la expresión es siempre $ 0$ excepto en $x=4$ donde cambia.
Por lo tanto, la solución es:
$$(-\infty, \infty)$$
2.b Resolver $x^5 - 21x^3 + 16x^2 + 108x - 144 < 0$
Probamos raíces y factorizamos:
$$ (x - 3)^2 (x + 2) (x^2 + 4) < 0$$
Como $x^2 + 4 > 0$ siempre, la desigualdad depende de $(x - 3)^2 (x + 2) < 0$.
$(x - 3)^2 0$ siempre, entonces:
$$ (x + 2) < 0 \Rightarrow x < -2$$
Solución:
$$(-\infty, -2)$$
3. Resolver inecuación compleja:
$$\frac{\sqrt{27} - x \sqrt[\,n]{x^2} - 14x - 15 (x - 2)^4 \sqrt[3]{x} + 8 (x - 3)^5}{\sqrt[4]{x} + 9 (x^2 + 7x - 8) (x - 27)^3 (x^3 - 27)} \leq 0$$
Sin más datos sobre $n$ y dominio, no se puede resolver exactamente aquí.
4. Resolver desigualdades:
4.a
$$\left| \frac{x - 2}{x + 1} \right| \leq \frac{x + 3}{x - 6}$$
Dominio: $x \neq -1, 6$ y $\frac{x + 3}{x - 6} \geq 0$.
Solución:
$$[-1, 2] \cup (6, \infty)$$
4.b
$$\log_{\frac{1}{2}} \left| \frac{4x - 11}{2x^2 - 4x - 6} \right| \leq -1$$
Recordar que $\log_{1/2}(y) \leq -1 \iff y \geq 2$.
Entonces:
$$\left| \frac{4x - 11}{2x^2 - 4x - 6} \right| \geq 2$$
Solución:
$$(-\infty, -1) \cup \left[\frac{7}{4}, \infty\right)$$
4.c
$$\log \left| \frac{2x - 3}{x + 1} \right| > 1$$
Equivale a:
$$\left| \frac{2x - 3}{x + 1} \right| > e$$
Solución:
$$\left(-\infty, \frac{3 - e}{2}\right) \cup \left(\frac{3 + e}{2}, \infty\right)$$