Question: Resolvelo como lo tendría que escribir en una evaluación de secundaria. Mostrame TODOS los cálculos renglón por renglón, sin saltear pasos. No me expliques solamente qué hacer: escribí cada transformación matemática. Si requiere gráfico, hacelo también. Al final explicame brevemente la teoría utilizada.
1. Planteamiento del problema: Resolver la ecuación $$3^x = 21$$ paso a paso.
2. Recordamos que para resolver ecuaciones exponenciales con base fija y resultado dado, usamos logaritmos para despejar la variable en el exponente.
3. Aplicamos logaritmo en base 10 a ambos lados:
$$\log(3^x) = \log(21)$$
4. Usamos la propiedad del logaritmo de potencia:
$$x \cdot \log(3) = \log(21)$$
5. Despejamos $$x$$:
$$x = \frac{\log(21)}{\log(3)}$$
6. Calculamos los valores numéricos (usando calculadora):
$$\log(21) \approx 1.3222$$
$$\log(3) \approx 0.4771$$
7. Dividimos:
$$x \approx \frac{1.3222}{0.4771} \approx 2.7726$$
8. Verificación:
Calculamos $$3^{2.7726}$$:
$$3^{2.7726} = e^{2.7726 \cdot \ln(3)}$$
$$= e^{2.7726 \cdot 1.0986} = e^{3.044} \approx 21$$
9. Respuesta final:
$$\boxed{x \approx 2.77}$$
Teoría utilizada: Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplican logaritmos para transformar la potencia en un producto, lo que permite despejar la variable en el exponente. Se usa la propiedad $$\log(a^b) = b \log(a)$$ y luego se despeja $$b$$. La verificación se hace sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.