Question: 17) Cada vez que cae al suelo una pelota rebota los $\frac{3}{5}$ de la altura desde la que ha caído. Si se la deja caer de una altura de $125$ metros, ¿a qué altura llegará después del tercer bote?
1. Planteamos el problema: Una pelota se deja caer desde una altura inicial de $125$ metros.
2. Cada vez que rebota, alcanza una altura igual a $\frac{3}{5}$ de la altura desde la que cayó.
3. Queremos encontrar la altura después del tercer bote.
4. La fórmula para la altura después de $n$ botes es:
$$h_n = h_0 \times \left(\frac{3}{5}\right)^n$$
Donde:
- $h_0 = 125$ metros (altura inicial)
- $n = 3$ (número de botes)
5. Sustituimos los valores:
$$h_3 = 125 \times \left(\frac{3}{5}\right)^3$$
6. Calculamos la potencia:
$$\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}$$
7. Multiplicamos:
$$h_3 = 125 \times \frac{27}{125}$$
8. Simplificamos la multiplicación cancelando $125$:
$$h_3 = \cancel{125} \times \frac{27}{\cancel{125}} = 27$$
9. Por lo tanto, la altura después del tercer bote es $27$ metros.