Baldosas Borde Interior Eb14F8

1. **Planteamiento del problema:** Rafa acomoda baldosas cuadradas formando un rectángulo con $f$ filas y $c$ columnas, donde $f \geq 3$ y $c \geq 3$. Queremos encontrar todos los pares $(f,c)$ tales que la cantidad de baldosas del borde sea igual a la cantidad de baldosas interiores. 2. **Definición de baldosas del borde e interiores:** - Baldosas del borde: las que tienen al menos un lado sobre el borde exterior del rectángulo. - Baldosas interiores: las que no están en el borde. 3. **Fórmulas para contar baldosas:** - Total de baldosas: $$f \times c$$ - Baldosas interiores: son las que quedan al quitar la primera y última fila y columna, es decir, $$ (f-2)(c-2) $$ - Baldosas del borde: el resto, es decir, $$ f c - (f-2)(c-2) $$ 4. **Condición del problema:** Queremos que la cantidad de baldosas del borde sea igual a la cantidad de baldosas interiores: $$ \text{borde} = \text{interior} \\ fc - (f-2)(c-2) = (f-2)(c-2) $$ 5. **Desarrollo algebraico:** Expandimos el producto: $$ fc - (fc - 2f - 2c + 4) = fc - 2f - 2c + 4 $$ Simplificamos el lado izquierdo: $$ fc - fc + 2f + 2c - 4 = fc - 2f - 2c + 4 $$ Lo que queda: $$ 2f + 2c - 4 = fc - 2f - 2c + 4 $$ Pasamos todos los términos a un lado: $$ 2f + 2c - 4 - fc + 2f + 2c - 4 = 0 $$ Sumamos términos semejantes: $$ (2f + 2f) + (2c + 2c) - 4 - 4 - fc = 0 \\ 4f + 4c - 8 - fc = 0 $$ Reordenamos: $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 $$ 6. **Ecuación clave:** $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 $$ 7. **Despejamos para encontrar valores enteros $f,c \geq 3$:** Reorganizamos para despejar $c$: $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 \\ fc - 4c = 4f - 8 \\ c(f - 4) = 4f - 8 \\ c = \frac{4f - 8}{f - 4} $$ 8. **Restricciones:** - $f \geq 3$, $c \geq 3$ enteros. - $f \neq 4$ para evitar división por cero. 9. **Probamos valores enteros de $f$ para que $c$ sea entero y $c \geq 3$:** - Para $f=3$: $$ c = \frac{4(3) - 8}{3 - 4} = \frac{12 - 8}{-1} = \frac{4}{-1} = -4 \quad \text{(no válido, $c$ debe ser positivo)} $$ - Para $f=5$: $$ c = \frac{4(5) - 8}{5 - 4} = \frac{20 - 8}{1} = 12 \quad \text{(válido, $c=12$)} $$ - Para $f=6$: $$ c = \frac{4(6) - 8}{6 - 4} = \frac{24 - 8}{2} = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{(válido)} $$ - Para $f=7$: $$ c = \frac{4(7) - 8}{7 - 4} = \frac{28 - 8}{3} = \frac{20}{3} \notin \mathbb{Z} \quad \text{(no válido)} $$ - Para $f=8$: $$ c = \frac{4(8) - 8}{8 - 4} = \frac{32 - 8}{4} = \frac{24}{4} = 6 \quad \text{(válido)} $$ - Para $f=9$: $$ c = \frac{4(9) - 8}{9 - 4} = \frac{36 - 8}{5} = \frac{28}{5} \notin \mathbb{Z} \quad \text{(no válido)} $$ - Para $f=10$: $$ c = \frac{4(10) - 8}{10 - 4} = \frac{40 - 8}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \notin \mathbb{Z} \quad \text{(no válido)} $$ - Para $f=12$: $$ c = \frac{4(12) - 8}{12 - 4} = \frac{48 - 8}{8} = \frac{40}{8} = 5 \quad \text{(válido)} $$ 10. **También probamos valores de $c$ para encontrar $f$:** Reorganizando la ecuación para $f$: $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 \\ f(c - 4) = 4c - 8 \\ f = \frac{4c - 8}{c - 4} $$ Probamos valores $c \geq 3$, $c \neq 4$: - $c=3$: $$ f = \frac{4(3) - 8}{3 - 4} = \frac{12 - 8}{-1} = -4 \quad \text{no válido} $$ - $c=5$: $$ f = \frac{4(5) - 8}{5 - 4} = \frac{20 - 8}{1} = 12 \quad \text{válido} $$ - $c=6$: $$ f = \frac{4(6) - 8}{6 - 4} = \frac{24 - 8}{2} = 8 \quad \text{válido} $$ - $c=8$: $$ f = \frac{4(8) - 8}{8 - 4} = \frac{32 - 8}{4} = 6 \quad \text{válido} $$ - $c=12$: $$ f = \frac{4(12) - 8}{12 - 4} = \frac{48 - 8}{8} = 5 \quad \text{válido} $$ 11. **Conclusión:** Las soluciones enteras con $f,c \geq 3$ son: $$ (f,c) = (5,12), (6,8), (8,6), (12,5) $$ Estas son todas las combinaciones posibles donde la cantidad de baldosas del borde es igual a la cantidad de baldosas interiores. --- **Respuesta final:** - $5$ filas y $12$ columnas - $6$ filas y $8$ columnas - $8$ filas y $6$ columnas - $12$ filas y $5$ columnas Todas cumplen que las baldosas del borde y las interiores son iguales en cantidad.