Baldosas Rectangulo Cd7E93

1. **Planteamiento del problema:** Rafa tiene un rectángulo formado por baldosas cuadradas iguales, con $f$ filas y $c$ columnas, donde $f \geq 3$ y $c \geq 3$. Queremos encontrar todos los pares $(f,c)$ tales que el número de baldosas del borde sea igual al número de baldosas interiores. 2. **Definición de baldosas del borde e interiores:** - Baldosas del borde: aquellas que tienen al menos un lado sobre el borde exterior del rectángulo. - Baldosas interiores: las que no están en el borde, es decir, las que quedan dentro del rectángulo sin tocar el borde. 3. **Fórmulas para contar baldosas:** - Total de baldosas: $$f \times c$$ - Baldosas interiores: son las que quedan después de quitar una fila y una columna en cada lado, es decir, $$ (f-2) \times (c-2) $$ - Baldosas del borde: total menos interiores, $$ f c - (f-2)(c-2) $$ 4. **Condición del problema:** Queremos que el número de baldosas del borde sea igual al número de baldosas interiores: $$ \text{borde} = \text{interior} \\ fc - (f-2)(c-2) = (f-2)(c-2) $$ 5. **Desarrollo algebraico:** Expandimos el producto: $$ fc - (fc - 2f - 2c + 4) = fc - 2f - 2c + 4 $$ Simplificamos el lado izquierdo: $$ fc - fc + 2f + 2c - 4 = fc - 2f - 2c + 4 $$ Lo que queda: $$ 2f + 2c - 4 = fc - 2f - 2c + 4 $$ Pasamos todos los términos a un lado: $$ 2f + 2c - 4 - fc + 2f + 2c - 4 = 0 $$ Sumamos términos semejantes: $$ (2f + 2f) + (2c + 2c) - 4 - 4 - fc = 0 \\ 4f + 4c - 8 - fc = 0 $$ Reordenamos: $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 $$ 6. **Ecuación clave:** $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 $$ 7. **Despejamos para encontrar valores enteros $f,c \geq 3$:** Reorganizamos para despejar $c$: $$ fc - 4f - 4c + 8 = 0 \\ fc - 4c = 4f - 8 \\ c(f - 4) = 4f - 8 \\ c = \frac{4f - 8}{f - 4} $$ 8. **Restricciones:** - $f \geq 3$, $c \geq 3$ enteros. - $f \neq 4$ para evitar división por cero. 9. **Probamos valores enteros de $f$ para que $c$ sea entero y $c \geq 3$:** - Para $f=3$: $$ c = \frac{4(3) - 8}{3 - 4} = \frac{12 - 8}{-1} = \frac{4}{-1} = -4 \quad \text{(no válido, $c$ debe ser positivo)} $$ - Para $f=5$: $$ c = \frac{4(5) - 8}{5 - 4} = \frac{20 - 8}{1} = 12 \quad \text{(válido, $c=12$)} $$ - Para $f=6$: $$ c = \frac{4(6) - 8}{6 - 4} = \frac{24 - 8}{2} = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{(válido)} $$ - Para $f=7$: $$ c = \frac{4(7) - 8}{7 - 4} = \frac{28 - 8}{3} = \frac{20}{3} = 6.66... \quad \text{(no entero)} $$ - Para $f=8$: $$ c = \frac{4(8) - 8}{8 - 4} = \frac{32 - 8}{4} = \frac{24}{4} = 6 \quad \text{(válido)} $$ - Para $f=9$: $$ c = \frac{4(9) - 8}{9 - 4} = \frac{36 - 8}{5} = \frac{28}{5} = 5.6 \quad \text{(no entero)} $$ - Para $f=10$: $$ c = \frac{4(10) - 8}{10 - 4} = \frac{40 - 8}{6} = \frac{32}{6} = 5.33... \quad \text{(no entero)} $$ - Para $f=11$: $$ c = \frac{4(11) - 8}{11 - 4} = \frac{44 - 8}{7} = \frac{36}{7} = 5.14... \quad \text{(no entero)} $$ - Para $f=12$: $$ c = \frac{4(12) - 8}{12 - 4} = \frac{48 - 8}{8} = \frac{40}{8} = 5 \quad \text{(válido)} $$ 10. **Comprobamos que $c \geq 3$ para los valores válidos:** - $f=5$, $c=12$ (válido) - $f=6$, $c=8$ (válido) - $f=8$, $c=6$ (válido) - $f=12$, $c=5$ (válido) 11. **Simetría:** El problema es simétrico en filas y columnas, por lo que si $(f,c)$ es solución, también lo es $(c,f)$. Por lo tanto, las soluciones completas con $f,c \geq 3$ son: $$ (5,12), (12,5), (6,8), (8,6) $$ 12. **Verificación rápida:** Por ejemplo, para $f=5$, $c=12$: - Baldosas interiores: $(5-2)(12-2) = 3 \times 10 = 30$ - Baldosas del borde: $5 \times 12 - 30 = 60 - 30 = 30$ Son iguales, cumple la condición. --- **Respuesta final:** Las posibles dimensiones del rectángulo son: $$ \boxed{(5,12), (12,5), (6,8), (8,6)} $$