Complejos Evaluacion Dbedcd

1. **Planteamiento del problema:** Vamos a resolver las actividades propuestas sobre números complejos, verificando afirmaciones, realizando operaciones y representando gráficamente. --- ### Actividad N°1: Verdadero o Falso con justificación **a)** Si $-z = 7 - 3i$, entonces $z = 7 + 3i$. - Partimos de $-z = 7 - 3i$. - Multiplicamos ambos lados por $-1$ para despejar $z$: $$ z = -1 \times (7 - 3i) = -7 + 3i $$ - Por lo tanto, $z = -7 + 3i$, no $7 + 3i$. **Respuesta:** Falso. **b)** Si $z = i - 1$, entonces $ ext{Im}(z) = 1$. - Recordemos que $z = a + bi$, donde $a$ es la parte real y $b$ la parte imaginaria. - Aquí $z = -1 + i$, entonces $ ext{Im}(z) = 1$. **Respuesta:** Verdadero. **c)** $z = 3 + i$ es un complejo real. - Un número complejo real tiene parte imaginaria cero. - Aquí la parte imaginaria es $1$, no cero. **Respuesta:** Falso. **d)** El número $z_1 = 3i + 2$ es igual a $z_2 = (2;3)$. - La notación $(a;b)$ representa $a + bi$. - $z_1 = 2 + 3i$ y $z_2 = 2 + 3i$. **Respuesta:** Verdadero. --- ### Actividad N°2: Operaciones con números complejos Dado: $$ z_1 = 4 - 3i, \quad z_2 = 2 - i, \quad z_3 = 3 + 4i $$ **a)** Calcular $z_3 \times \bar{z}_2 - z_1$ - Primero, conjugado de $z_2$: $$ \bar{z}_2 = 2 + i $$ - Multiplicamos: $$ z_3 \times \bar{z}_2 = (3 + 4i)(2 + i) = 3 \times 2 + 3 \times i + 4i \times 2 + 4i \times i = 6 + 3i + 8i + 4i^2 $$ - Recordando que $i^2 = -1$: $$ 6 + 11i + 4(-1) = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i $$ - Ahora restamos $z_1$: $$ (2 + 11i) - (4 - 3i) = 2 + 11i - 4 + 3i = (2 - 4) + (11i + 3i) = -2 + 14i $$ **Resultado:** $-2 + 14i$ **b)** Calcular $\frac{z_2}{z_3}$ - Dividimos: $$ \frac{2 - i}{3 + 4i} $$ - Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{(2 - i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} $$ - Calculamos numerador: $$ (2)(3) - 2(4i) - i(3) + i(4i) = 6 - 8i - 3i + 4i^2 = 6 - 11i + 4(-1) = 6 - 11i - 4 = 2 - 11i $$ - Calculamos denominador: $$ 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 $$ - Por lo tanto: $$ \frac{z_2}{z_3} = \frac{2 - 11i}{25} = \frac{2}{25} - \frac{11}{25}i $$ **Resultado:** $\frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$ **c)** Calcular $\bar{z}_3 \times i^{70} - z_1 \times 3i^{51}$ - Primero, conjugado de $z_3$: $$ \bar{z}_3 = 3 - 4i $$ - Recordamos que $i^4 = 1$, por lo que: $$ i^{70} = i^{4 \times 17 + 2} = (i^4)^{17} \times i^2 = 1^{17} \times (-1) = -1 $$ $$ i^{51} = i^{4 \times 12 + 3} = (i^4)^{12} \times i^3 = 1^{12} \times (-i) = -i $$ - Calculamos cada término: $$ \bar{z}_3 \times i^{70} = (3 - 4i)(-1) = -3 + 4i $$ $$ z_1 \times 3i^{51} = (4 - 3i) \times 3(-i) = (4 - 3i)(-3i) = -12i + 9i^2 = -12i + 9(-1) = -12i - 9 $$ - Finalmente: $$ (-3 + 4i) - (-12i - 9) = -3 + 4i + 12i + 9 = (-3 + 9) + (4i + 12i) = 6 + 16i $$ **Resultado:** $6 + 16i$ --- ### Actividad N°3: Número complejo con parte imaginaria doble de la real y parte real irracional - Sea $x$ la parte real, con $x$ irracional. - La parte imaginaria es $2x$. Por ejemplo, si $x = \sqrt{2}$, entonces: $$ z = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}i $$ --- ### Actividad N°4: Opuesto y conjugado de $z = 4i - 5$ - Dado $z = -5 + 4i$. - Opuesto: $$ -z = 5 - 4i $$ - Conjugado: $$ \bar{z} = -5 - 4i $$ --- ### Representación gráfica - En el plano complejo, el eje horizontal es la parte real y el vertical la imaginaria. - $z = (-5, 4)$ - $-z = (5, -4)$ - $\bar{z} = (-5, -4)$ Se muestran los tres puntos con etiquetas correspondientes.