Funcion Exponencial 2D910F

1. **Plantear el problema:** Los ejercicios de función exponencial generalmente involucran una función de la forma $$N(t) = k e^{a t}$$ donde $$k$$ y $$a$$ son constantes, $$t$$ es la variable independiente (por ejemplo, tiempo), y $$N(t)$$ es la cantidad que cambia exponencialmente. 2. **Identificar los datos:** Por ejemplo, si se sabe que inicialmente hay $$N(0) = N_0$$ bacterias y después de un tiempo $$t_1$$ hay $$N(t_1)$$ bacterias, se pueden usar estos datos para encontrar $$k$$ y $$a$$. 3. **Encontrar $$k$$:** Evaluar la función en $$t=0$$: $$N(0) = k e^{a \cdot 0} = k \Rightarrow k = N_0$$ 4. **Encontrar $$a$$:** Usar el valor en $$t = t_1$$: $$N(t_1) = N_0 e^{a t_1} \Rightarrow e^{a t_1} = \frac{N(t_1)}{N_0}$$ Tomar logaritmo natural en ambos lados: $$a t_1 = \ln\left(\frac{N(t_1)}{N_0}\right) \Rightarrow a = \frac{1}{t_1} \ln\left(\frac{N(t_1)}{N_0}\right)$$ 5. **Usar la función para predecir:** Con $$k$$ y $$a$$ conocidos, se puede calcular $$N(t)$$ para cualquier $$t$$. 6. **Ejemplo:** Si inicialmente hay 2000 bacterias y a los 20 minutos hay 6000, entonces: - $$k = 2000$$ - $$a = \frac{1}{20} \ln\left(\frac{6000}{2000}\right) = \frac{1}{20} \ln(3)$$ Para calcular bacterias a 1 hora (60 minutos): $$N(60) = 2000 e^{a \cdot 60} = 2000 e^{60 \cdot \frac{1}{20} \ln(3)} = 2000 e^{3 \ln(3)} = 2000 \times 3^3 = 2000 \times 27 = 54000$$ 7. **Interpretación:** La función exponencial modela crecimiento rápido y se usa para poblaciones, decaimientos, etc. 8. **Consejo:** Siempre despejar las constantes con los datos iniciales y luego usar la función para resolver el problema.