Funcion Exponencial Bd984E

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un cultivo con un número inicial de bacterias $N(0) = 2000$ y después de 20 minutos el número de bacterias es $N(20) = 6000$. El modelo es de crecimiento exponencial dado por: $$N(t) = k e^{a t}$$ Donde $k$ y $a$ son constantes a determinar, y $t$ es el tiempo en minutos. 2. **Determinar la constante $k$:** Al inicio, cuando $t=0$: $$N(0) = k e^{a \cdot 0} = k e^0 = k = 2000$$ Por lo tanto, $k = 2000$. 3. **Determinar la constante $a$ usando el dato en $t=20$ minutos:** $$N(20) = 2000 e^{20 a} = 6000$$ Dividimos ambos lados por 2000: $$e^{20 a} = \frac{6000}{2000} = 3$$ Aplicamos logaritmo natural a ambos lados: $$20 a = \ln(3)$$ Despejamos $a$: $$a = \frac{\ln(3)}{20}$$ 4. **Función exponencial completa:** $$N(t) = 2000 e^{\frac{\ln(3)}{20} t}$$ 5. **Interpretación:** Esta función modela el crecimiento del número de bacterias en función del tiempo $t$ en minutos. 6. **Cálculo del número de bacterias a 1 hora (60 minutos):** $$N(60) = 2000 e^{\frac{\ln(3)}{20} \cdot 60} = 2000 e^{3 \ln(3)} = 2000 (e^{\ln(3)})^3 = 2000 \cdot 3^3 = 2000 \cdot 27 = 54000$$ Por lo tanto, habrá 54000 bacterias después de 1 hora.