Funciones Exponenciales 6C0D9D

1. Problema: Representar y analizar las funciones exponenciales dadas: $$f(x) = 3^x$$, $$g(x) = 4^x$$, $$h(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$$, $$t(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$$ en un mismo sistema de ejes cartesianos. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Función exponencial general: $$f(x) = a^x$$ donde $$a > 0$$ y $$a \neq 1$$. - La ordenada al origen es $$f(0) = a^0 = 1$$. - La función nunca es negativa, siempre $$f(x) > 0$$. - Asíntota horizontal en $$y=0$$. - Si $$a > 1$$, la función es creciente. - Si $$0 < a < 1$$, la función es decreciente. 3. Cálculo de valores para cada función en $$x = -2, -1, 0, 1, 2$$: Para $$f(x) = 3^x$$: - $$f(-2) = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$ - $$f(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$$ - $$f(0) = 3^0 = 1$$ - $$f(1) = 3^1 = 3$$ - $$f(2) = 3^2 = 9$$ Para $$g(x) = 4^x$$: - $$g(-2) = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$$ - $$g(-1) = 4^{-1} = \frac{1}{4}$$ - $$g(0) = 4^0 = 1$$ - $$g(1) = 4^1 = 4$$ - $$g(2) = 4^2 = 16$$ Para $$h(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$$: - $$h(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$$ - $$h(-1) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$$ - $$h(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$$ - $$h(1) = \frac{1}{3}$$ - $$h(2) = \frac{1}{9}$$ Para $$t(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x = 4^{-x}$$: - $$t(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$$ - $$t(-1) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$$ - $$t(0) = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$$ - $$t(1) = \frac{1}{4}$$ - $$t(2) = \frac{1}{16}$$ 4. Graficar las funciones en un mismo sistema de coordenadas con los puntos calculados. 5. Respuestas a afirmaciones: - i) Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen: Verdadero, porque $$a^0 = 1$$ para todas. - ii) Todas las funciones tienen la misma raíz: Falso, ninguna función exponencial $$a^x$$ con $$a>0$$ y $$a \neq 1$$ cruza el eje $$x$$. - iii) Todas las funciones tienen una asíntota horizontal: Verdadero, en $$y=0$$. - iv) Todas las funciones son crecientes y positivas: Falso, las funciones con base $$00$$ y $$a \neq 1$$. Su comportamiento depende de la base $$a$$. La ordenada al origen siempre es 1. Las funciones con base mayor que 1 son crecientes, y las con base entre 0 y 1 son decrecientes. Todas tienen una asíntota horizontal en $$y=0$$ y nunca cruzan el eje $$x$$. Las funciones con bases inversas son simétricas respecto al eje $$y$$.