Question: Demostrar que L{sin(kt)}=k/(s^2+k^2 )
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos demostrar que la transformada de Laplace de la función $\sin(kt)$ es $$\mathcal{L}\{\sin(kt)\} = \frac{k}{s^2 + k^2}$$.
2. **Fórmula de la transformada de Laplace:**
La transformada de Laplace de una función $f(t)$ está dada por:
$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt$$
3. **Aplicación a $\sin(kt)$:**
Sustituimos $f(t) = \sin(kt)$:
$$\mathcal{L}\{\sin(kt)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \sin(kt) \, dt$$
4. **Evaluación de la integral:**
Usamos la fórmula estándar para la integral:
$$\int_0^{\infty} e^{-at} \sin(bt) \, dt = \frac{b}{a^2 + b^2} \quad \text{para } a > 0$$
Aquí, $a = s$ y $b = k$.
5. **Resultado:**
Por lo tanto,
$$\mathcal{L}\{\sin(kt)\} = \frac{k}{s^2 + k^2}$$
6. **Explicación:**
La transformada de Laplace convierte funciones en el dominio del tiempo a funciones en el dominio complejo $s$. La integral converge para $s > 0$ y la fórmula usada es un resultado estándar de cálculo integral para funciones exponenciales multiplicadas por senos.
**Respuesta final:**
$$\boxed{\mathcal{L}\{\sin(kt)\} = \frac{k}{s^2 + k^2}}$$