Question: Resolver transformada de Laplace: Aplicar el primer teorema de traslación a: $F(s)=\frac{-5}{(s-8)^3}$
1. **Planteamiento del problema:**
Queremos encontrar la transformada inversa de Laplace de la función $$F(s)=\frac{-5}{(s-8)^3}$$ aplicando el primer teorema de traslación.
2. **Recordando el primer teorema de traslación:**
Si $$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$$, entonces $$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$.
Esto significa que si tenemos una función en la forma $$F(s-a)$$, su transformada inversa es $$e^{at}f(t)$$.
3. **Identificación de la función base:**
Observamos que $$F(s) = \frac{-5}{(s-8)^3}$$ es de la forma $$F(s-8) = \frac{-5}{s^3}$$.
4. **Transformada inversa base:**
Sabemos que $$\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$$ para $$n\geq0$$.
En particular, para $$n=2$$:
$$\mathcal{L}\{t^2\} = \frac{2!}{s^{3}} = \frac{2}{s^3}$$.
5. **Encontrar la transformada inversa de $$\frac{1}{s^3}$$:**
De la fórmula anterior:
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^3}\right\} = \frac{t^2}{2}$$.
6. **Aplicar la constante y el desplazamiento:**
Dado que $$F(s-8) = \frac{-5}{s^3}$$, la transformada inversa es:
$$f(t) = e^{8t} \cdot \left(-5 \cdot \frac{t^2}{2}\right) = -\frac{5}{2} t^2 e^{8t}$$.
**Respuesta final:**
$$\boxed{f(t) = -\frac{5}{2} t^2 e^{8t}}$$