1. Efectúa las siguientes operaciones, expresa el resultado utilizando potencias con exponente positivo. **a)** $5^6 \times 5^5$ Usamos la propiedad de potencias que dice que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes: $$5^6 \times 5^5 = 5^{6+5} = 5^{11}$$ **b)** $(-6)^{-1} \times (-6)$ Recordemos que $a^{-1} = \frac{1}{a}$, entonces: $$(-6)^{-1} \times (-6) = \frac{1}{-6} \times (-6)$$ Multiplicamos: $$\frac{1}{-6} \times (-6) = \cancel{\frac{1}{\cancel{-6}}} \times \cancel{-6} = 1$$ **c)** $4^{-5} \div 4^3$ Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes: $$4^{-5} \div 4^3 = 4^{-5-3} = 4^{-8}$$ Para expresar con exponente positivo: $$4^{-8} = \frac{1}{4^8}$$ **d)** $(2^{-4})^3$ Al elevar una potencia a otra potencia se multiplican los exponentes: $$(2^{-4})^3 = 2^{-4 \times 3} = 2^{-12} = \frac{1}{2^{12}}$$ **e)** $[(-2)^{-3}]^{-5}$ Multiplicamos exponentes: $$[(-2)^{-3}]^{-5} = (-2)^{-3 \times (-5)} = (-2)^{15}$$ **f)** $[(-3)^2]^{-3}$ Multiplicamos exponentes: $$[(-3)^2]^{-3} = (-3)^{2 \times (-3)} = (-3)^{-6} = \frac{1}{(-3)^6}$$ **g)** $(-5)^{-2} \times (-5)^{-4}$ Sumamos exponentes: $$(-5)^{-2} \times (-5)^{-4} = (-5)^{-2-4} = (-5)^{-6} = \frac{1}{(-5)^6}$$ **h)** $(-5)^{-2} + (-4)$ No se pueden sumar directamente porque no son potencias con la misma base ni términos semejantes, así que la expresión queda como está: $$(-5)^{-2} + (-4) = \frac{1}{(-5)^2} - 4 = \frac{1}{25} - 4$$ 2) Realiza las siguientes operaciones simplificando tu respuesta a la mínima expresión. **a)** $\sqrt[n]{12} \times \sqrt[n]{24}$ Multiplicamos dentro de la raíz: $$\sqrt[n]{12} \times \sqrt[n]{24} = \sqrt[n]{12 \times 24} = \sqrt[n]{288}$$ **b)** $\sqrt[3]{48} \div \sqrt[3]{6}$ Dividimos dentro de la raíz cúbica: $$\sqrt[3]{48} \div \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{\frac{48}{6}} = \sqrt[3]{8} = 2$$ **c)** $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{189}$ Primero factorizamos para simplificar: $$54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$$ $$189 = 27 \times 7 = 3^3 \times 7$$ Entonces: $$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \times 2} = 3 \sqrt[3]{2}$$ $$\sqrt[3]{189} = \sqrt[3]{3^3 \times 7} = 3 \sqrt[3]{7}$$ Sumamos: $$3 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{7} = 3(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{7})$$ **Respuesta final:** a) $\sqrt[n]{288}$ b) $2$ c) $3(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{7})$