1. **Problema:** Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado con potencias de exponente positivo. **a)** $5^6 \times 5^5$ - Regla: Cuando multiplicamos potencias de la misma base, sumamos los exponentes. $$5^6 \times 5^5 = 5^{6+5} = 5^{11}$$ **b)** $(-6)^{-1} \times (-6)$ - Regla: Multiplicamos potencias de la misma base, sumamos exponentes. $$(-6)^{-1} \times (-6)^1 = (-6)^{-1+1} = (-6)^0 = 1$$ **c)** $4^{-5} \div 4^3$ - Regla: Al dividir potencias de la misma base, restamos exponentes. $$4^{-5} \div 4^3 = 4^{-5-3} = 4^{-8} = \frac{1}{4^8}$$ **d)** $(2^{-4})^3$ - Regla: Potencia de una potencia, multiplicamos exponentes. $$(2^{-4})^3 = 2^{-4 \times 3} = 2^{-12} = \frac{1}{2^{12}}$$ **e)** $[(-2)^{-3}]^{-5}$ - Regla: Potencia de una potencia, multiplicamos exponentes. $$[(-2)^{-3}]^{-5} = (-2)^{-3 \times (-5)} = (-2)^{15}$$ **f)** $[(-3)^2]^{-3}$ - Regla: Potencia de una potencia, multiplicamos exponentes. $$[(-3)^2]^{-3} = (-3)^{2 \times (-3)} = (-3)^{-6} = \frac{1}{(-3)^6}$$ **g)** $(-5)^{-2} \times (-5)^{-4}$ - Multiplicamos potencias, sumamos exponentes. $$(-5)^{-2} \times (-5)^{-4} = (-5)^{-2-4} = (-5)^{-6} = \frac{1}{(-5)^6}$$ **h)** $(-5)^{-2} + (-4)$ - No se pueden sumar potencias con números sin la misma base y exponente, se deja como está. 2. **Problema:** Realiza las siguientes operaciones simplificando a la mínima expresión. **a)** $\sqrt[5]{12} \times \sqrt[5]{24}$ - Regla: Multiplicamos dentro de la raíz de igual índice. $$\sqrt[5]{12} \times \sqrt[5]{24} = \sqrt[5]{12 \times 24} = \sqrt[5]{288}$$ - Factorizamos 288 para simplificar: $$288 = 2^5 \times 3^2$$ - Sacamos la raíz quinta de $2^5$: $$\sqrt[5]{2^5 \times 3^2} = 2 \times \sqrt[5]{3^2} = 2 \sqrt[5]{9}$$ **b)** $\sqrt[3]{48} \div \sqrt[3]{6}$ - Regla: Dividimos dentro de la raíz de igual índice. $$\sqrt[3]{48} \div \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{\frac{48}{6}} = \sqrt[3]{8} = 2$$ **c)** $\sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{189}$ - Factorizamos para simplificar: $$54 = 2 \times 3^3$$ $$189 = 3^3 \times 7$$ - Sacamos la raíz cúbica de $3^3$: $$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = 3 \sqrt[3]{2}$$ $$\sqrt[3]{189} = \sqrt[3]{3^3 \times 7} = 3 \sqrt[3]{7}$$ - No se pueden sumar directamente porque las raíces no son iguales, la expresión queda: $$3 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{7}$$ **Respuesta final:** a) $5^{11}$ b) $1$ c) $\frac{1}{4^8}$ d) $\frac{1}{2^{12}}$ e) $(-2)^{15}$ f) $\frac{1}{(-3)^6}$ g) $\frac{1}{(-5)^6}$ h) $(-5)^{-2} + (-4)$ (no simplificable) 2a) $2 \sqrt[5]{9}$ 2b) $2$ 2c) $3 \sqrt[3]{2} + 3 \sqrt[3]{7}$