Question: Uji Kemampuan Diri 2
Kerjakan soal-soal berikut. Gunakan alat bantu hitung jika diperlukan.
1. Sistem bunga tunggal umumnya digunakan pada deposito. Tabel berikut menyatakan uang yang didepositokan di beberapa bank. Perhitungan bunga dilakukan tiap akhir tahun. Lengkapilah tabel berikut.
Modal Awal (Rp) | Suku Bunga | Jangka Waktu | Modal Akhir (Rp)
30.000.000,00 | 3%/tahun | 6 tahun | ...
25.000.000,00 | 2,5%/tahun | ... | 30.000.000,00
40.000.000,00 | ... | 5 tahun | 42.800.000,00
... | 2%/tahun | 10 tahun | 21.000.000,00
2. Seseorang menginvestasikan uangnya di beberapa bank dengan sistem bunga majemuk, dengan data pada tabel berikut. Perhitungan bunga dilakukan setiap bulan. Lengkapilah tabel berikut.
Modal Awal (Rp) | Suku Bunga | Jangka Waktu | Modal Akhir (Rp)
10.000.000,00 | 0,1%/bulan | 6 bulan | ...
8.000.000,00 | 3%/tahun | 2 tahun | ...
15.000.000,00 | 1,8%/tahun | 1,5 tahun | ...
20.000.000,00 | 2,4%/tahun | ... | 20.160.481,00
30.000.000,00 | ... | 10 bulan | 30.240.842,00
... | 0,3%/tahun | 3 tahun | 31.188.294,00
1. **Masalah bunga tunggal**
Diketahui rumus bunga tunggal:
$$M = P(1 + rt)$$
di mana:
- $M$ = modal akhir
- $P$ = modal awal
- $r$ = suku bunga per tahun (dalam desimal)
- $t$ = waktu dalam tahun
Kita lengkapi tabel satu per satu.
**Baris 1:**
- $P = 30.000.000$
- $r = 3\% = 0.03$
- $t = 6$
Hitung modal akhir:
$$M = 30.000.000(1 + 0.03 \times 6) = 30.000.000(1 + 0.18) = 30.000.000 \times 1.18 = 35.400.000$$
**Baris 2:**
- $P = 25.000.000$
- $r = 2.5\% = 0.025$
- $M = 30.000.000$
Cari $t$:
$$30.000.000 = 25.000.000(1 + 0.025t)$$
$$\frac{30.000.000}{25.000.000} = 1 + 0.025t$$
$$1.2 = 1 + 0.025t$$
$$0.2 = 0.025t$$
$$t = \frac{0.2}{0.025} = 8$$
**Baris 3:**
- $P = 40.000.000$
- $t = 5$
- $M = 42.800.000$
Cari $r$:
$$42.800.000 = 40.000.000(1 + r \times 5)$$
$$\frac{42.800.000}{40.000.000} = 1 + 5r$$
$$1.07 = 1 + 5r$$
$$0.07 = 5r$$
$$r = \frac{0.07}{5} = 0.014 = 1.4\%$$
**Baris 4:**
- $r = 2\% = 0.02$
- $t = 10$
- $M = 21.000.000$
Cari $P$:
$$21.000.000 = P(1 + 0.02 \times 10) = P(1 + 0.2) = 1.2P$$
$$P = \frac{21.000.000}{1.2} = 17.500.000$$
2. **Masalah bunga majemuk**
Rumus bunga majemuk:
$$M = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$
di mana:
- $M$ = modal akhir
- $P$ = modal awal
- $r$ = suku bunga per tahun (desimal)
- $n$ = frekuensi penghitungan bunga per tahun
- $t$ = waktu dalam tahun
Perhitungan bunga dilakukan setiap bulan, jadi $n = 12$ kecuali jika suku bunga sudah per bulan.
**Baris 1:**
- $P = 10.000.000$
- $r = 0.1\%$ per bulan $= 0.001$ per bulan
- $t = 6$ bulan $= 0.5$ tahun
Karena bunga per bulan, gunakan $n=12$ dan $r=0.001 \times 12 = 0.012$ per tahun tidak tepat, lebih baik langsung gunakan per bulan:
$$M = 10.000.000 \times (1 + 0.001)^6 = 10.000.000 \times 1.006015 = 10.060.150$$
**Baris 2:**
- $P = 8.000.000$
- $r = 3\% = 0.03$ per tahun
- $t = 2$ tahun
- $n = 12$
Hitung:
$$M = 8.000.000 \times \left(1 + \frac{0.03}{12}\right)^{12 \times 2} = 8.000.000 \times (1 + 0.0025)^{24}$$
$$= 8.000.000 \times 1.061678 = 8.493.424$$
**Baris 3:**
- $P = 15.000.000$
- $r = 1.8\% = 0.018$ per tahun
- $t = 1.5$ tahun
- $n = 12$
Hitung:
$$M = 15.000.000 \times \left(1 + \frac{0.018}{12}\right)^{12 \times 1.5} = 15.000.000 \times (1 + 0.0015)^{18}$$
$$= 15.000.000 \times 1.0273 = 15.409.500$$
**Baris 4:**
- $P = 20.000.000$
- $r = 2.4\% = 0.024$ per tahun
- $M = 20.160.481$
- $n = 12$
Cari $t$:
$$20.160.481 = 20.000.000 \times \left(1 + \frac{0.024}{12}\right)^{12t}$$
$$1.00802405 = (1.002)^{12t}$$
Ambil log:
$$\ln(1.00802405) = 12t \ln(1.002)$$
$$0.007992 = 12t \times 0.001998$$
$$12t = \frac{0.007992}{0.001998} = 4$$
$$t = \frac{4}{12} = 0.3333 \text{ tahun} = 4 \text{ bulan}$$
**Baris 5:**
- $P = 30.000.000$
- $t = 10$ bulan $= \frac{10}{12} = 0.8333$ tahun
- $M = 30.240.842$
- $n = 12$
Cari $r$:
$$30.240.842 = 30.000.000 \times \left(1 + \frac{r}{12}\right)^{12 \times 0.8333} = 30.000.000 \times (1 + \frac{r}{12})^{10}$$
$$1.008028 = (1 + \frac{r}{12})^{10}$$
Ambil log:
$$\ln(1.008028) = 10 \ln(1 + \frac{r}{12})$$
$$0.007996 = 10 \ln(1 + \frac{r}{12})$$
$$\ln(1 + \frac{r}{12}) = 0.0007996$$
$$1 + \frac{r}{12} = e^{0.0007996} = 1.0008$$
$$\frac{r}{12} = 0.0008$$
$$r = 0.0096 = 0.96\% \text{ per tahun}$$
**Baris 6:**
- $r = 0.3\% = 0.003$ per tahun
- $t = 3$ tahun
- $M = 31.188.294$
- $n = 12$
Cari $P$:
$$31.188.294 = P \times \left(1 + \frac{0.003}{12}\right)^{12 \times 3} = P \times (1 + 0.00025)^{36}$$
$$31.188.294 = P \times 1.00907$$
$$P = \frac{31.188.294}{1.00907} = 30.900.000$$
**Jawaban akhir tabel:**
| Modal Awal (Rp) | Suku Bunga | Jangka Waktu | Modal Akhir (Rp) |
|-----------------|------------|--------------|-----------------|
| 30.000.000 | 3%/tahun | 6 tahun | 35.400.000 |
| 25.000.000 | 2,5%/tahun | 8 tahun | 30.000.000 |
| 40.000.000 | 1,4%/tahun | 5 tahun | 42.800.000 |
| 17.500.000 | 2%/tahun | 10 tahun | 21.000.000 |
| Modal Awal (Rp) | Suku Bunga | Jangka Waktu | Modal Akhir (Rp) |
|-----------------|---------------|--------------|-----------------|
| 10.000.000 | 0,1%/bulan | 6 bulan | 10.060.150 |
| 8.000.000 | 3%/tahun | 2 tahun | 8.493.424 |
| 15.000.000 | 1,8%/tahun | 1,5 tahun | 15.409.500 |
| 20.000.000 | 2,4%/tahun | 4 bulan | 20.160.481 |
| 30.000.000 | 0,96%/tahun | 10 bulan | 30.240.842 |
| 30.900.000 | 0,3%/tahun | 3 tahun | 31.188.294 |