Lingkaran Berpusat D84679

1. **Menentukan lingkaran berpusat di A(4, -2) dan menyinggung garis x = 2** Diketahui pusat lingkaran $A(4, -2)$ dan garis singgung $x=2$. Rumus jarak titik ke garis: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Garis $x=2$ dapat ditulis sebagai $1\cdot x + 0\cdot y - 2 = 0$, jadi $A=1$, $B=0$, $C=-2$. Jari-jari lingkaran adalah jarak pusat ke garis: $$r = \frac{|1\cdot 4 + 0\cdot (-2) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|4 - 2|}{1} = 2$$ Jadi persamaan lingkaran: $$ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 2^2 = 4 $$ 2. **Menentukan kedudukan titik A(2,4), B(-1,5), C(-3,-3) terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 20$** Lingkaran berpusat di $(0,0)$ dengan jari-jari $r = \sqrt{20} \approx 4.472$. Hitung jarak titik ke pusat: - Titik A: $$d_A = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 4.472$$ (tepat pada lingkaran) - Titik B: $$d_B = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx 5.099$$ (di luar lingkaran) - Titik C: $$d_C = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4.243$$ (di dalam lingkaran) 3. **Menentukan kedudukan garis $x - 2y = 2$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 3 = 0$** Langkah pertama: ubah persamaan lingkaran ke bentuk pusat-jari-jari. $$x^2 + 2x + y^2 - 4y = 3$$ Lengkapi kuadrat: $$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 3 + 1 + 4$$ $$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 8 $$ Jadi pusat $C(-1, 2)$ dan jari-jari $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$. Jarak garis ke pusat: Garis $x - 2y - 2 = 0$, jadi $A=1$, $B=-2$, $C=-2$. $$d = \frac{|1\cdot (-1) + (-2)\cdot 2 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-1 -4 -2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{7}{\sqrt{5}} \approx 3.130$$ Karena $d > r$, garis berada di luar lingkaran dan tidak memotong lingkaran. 4. **Lingkaran $x^2 + y^2 - 12x + 2y + 28 = 0$ bersinggungan luar dengan lingkaran berpusat $(2, -1)$ dan jari-jari $r$. Tentukan $r$.** Ubah persamaan lingkaran pertama ke bentuk pusat-jari-jari: $$x^2 - 12x + y^2 + 2y = -28$$ Lengkapi kuadrat: $$x^2 - 12x + 36 + y^2 + 2y + 1 = -28 + 36 + 1$$ $$ (x - 6)^2 + (y + 1)^2 = 9 $$ Jadi pusat $C_1(6, -1)$ dan jari-jari $r_1 = 3$. Pusat lingkaran kedua $C_2(2, -1)$ dan jari-jari $r$. Jarak pusat: $$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$$ Karena lingkaran bersinggungan luar, berlaku: $$d = r_1 + r$$ $$4 = 3 + r \Rightarrow r = 1$$ 5. **Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$ yang melalui titik $A(2, -5)$** Ubah persamaan lingkaran ke bentuk pusat-jari-jari: $$x^2 - 2x + y^2 + 6y = -5$$ Lengkapi kuadrat: $$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = -5 + 1 + 9$$ $$ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $$ Jadi pusat $C(1, -3)$ dan jari-jari $r = \sqrt{5}$. Persamaan garis singgung yang melalui titik $A(2, -5)$ adalah garis yang jaraknya dari pusat sama dengan jari-jari dan melewati titik $A$. Misal persamaan garis singgung: $$y = mx + c$$ Karena melewati $A(2, -5)$: $$-5 = 2m + c \Rightarrow c = -5 - 2m$$ Jarak garis ke pusat $C(1, -3)$ harus sama dengan $r$: $$d = \frac{|m\cdot 1 - 1 \cdot (-3) + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$ Substitusi $c$: $$\frac{|m + 3 + (-5 - 2m)|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$ $$\frac{|-m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$ Kuadratkan kedua sisi: $$\frac{(m + 2)^2}{m^2 + 1} = 5$$ $$ (m + 2)^2 = 5(m^2 + 1) $$ $$ m^2 + 4m + 4 = 5m^2 + 5 $$ $$ 0 = 5m^2 - m^2 + 5 - 4m - 4 $$ $$ 0 = 4m^2 - 4m + 1 $$ Gunakan rumus kuadrat: $$m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Jadi hanya satu kemiringan $m = \frac{1}{2}$. Substitusi ke $c$: $$c = -5 - 2 \cdot \frac{1}{2} = -5 - 1 = -6$$ Persamaan garis singgung: $$y = \frac{1}{2}x - 6$$