Neprekidnost Funkcije 9A4F35

1. Postavimo problem: Ispitati neprekidnost funkcije $$g(x) = \begin{cases} 1 - e^{-1} \ln x^2 - 1, & x \neq 0, x \neq \pm 1 \\ 0, & x = 0, x = \pm 1 \end{cases}$$ bez korišćenja diferencijalnog računa. 2. Pravila neprekidnosti: Funkcija je neprekidna u tački $$a$$ ako je $$\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$$. 3. Ispitujemo tačke $$x=0$$ i $$x=\pm 1$$ gde je funkcija definisana drugačije. 4. Za $$x=0$$: Funkcija nije definisana za $$x=0$$ u izrazu $$1 - e^{-1} \ln x^2 - 1$$ jer $$\ln 0$$ nije definisan. Dakle, $$g(0) = 0$$, ali $$\lim_{x \to 0} g(x)$$ ne postoji jer $$\ln x^2 \to -\infty$$. Funkcija nije neprekidna u $$x=0$$. 5. Za $$x=1$$: Izračunajmo $$\lim_{x \to 1} g(x)$$. $$g(x) = 1 - e^{-1} \ln x^2 - 1 = - e^{-1} \ln x^2$$ Kada $$x \to 1$$, $$\ln 1^2 = \ln 1 = 0$$, pa je $$\lim_{x \to 1} g(x) = - e^{-1} \cdot 0 = 0$$ Pošto je $$g(1) = 0$$, funkcija je neprekidna u $$x=1$$. 6. Za $$x=-1$$: Slično kao za $$x=1$$, $$\lim_{x \to -1} g(x) = - e^{-1} \ln (-1)^2 = - e^{-1} \ln 1 = 0$$ Pošto je $$g(-1) = 0$$, funkcija je neprekidna u $$x=-1$$. 7. Zaključak: Funkcija $$g(x)$$ je neprekidna u svim tačkama osim u $$x=0$$ gde nije definisana i nema graničnu vrednost. Odgovor: Funkcija nije neprekidna u $$x=0$$, a jeste u $$x=\pm 1$$ i za sve ostale vrednosti iz domena.