Ensembles Intersections 8B3709

1. **Énoncé du problème :** On considère les ensembles E et F définis par : $$E = \left\{ \frac{19\pi}{10} + k\frac{\pi}{5} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$$ $$F = \left\{ -\frac{1}{10}(3\pi + 2k\pi) \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$$ Montrer que $E = F$. Puis, résoudre les trois intersections d'ensembles données dans l'exercice 49. --- 2. **Montrer que $E = F$ :** - Pour $E$, chaque élément est de la forme : $$x = \frac{19\pi}{10} + k\frac{\pi}{5}$$ - Pour $F$, chaque élément est de la forme : $$y = -\frac{1}{10}(3\pi + 2k\pi) = -\frac{3\pi}{10} - \frac{2k\pi}{10} = -\frac{3\pi}{10} - k\frac{\pi}{5}$$ - Montrons que tout élément de $E$ est dans $F$ : Posons $m = -k - 2$, alors $$x = \frac{19\pi}{10} + k\frac{\pi}{5} = \frac{19\pi}{10} + k\frac{2\pi}{10} = \frac{19\pi}{10} + \frac{2k\pi}{10}$$ On veut écrire $x$ sous la forme $-\frac{3\pi}{10} - m\frac{\pi}{5}$ : $$-\frac{3\pi}{10} - m\frac{\pi}{5} = -\frac{3\pi}{10} - m\frac{2\pi}{10} = -\frac{3\pi}{10} - \frac{2m\pi}{10}$$ Posons $m = -k - 11$ (car $\frac{19\pi}{10} = -\frac{3\pi}{10} + 2\pi$), alors $$-\frac{3\pi}{10} - \frac{2m\pi}{10} = -\frac{3\pi}{10} - \frac{2(-k - 11)\pi}{10} = -\frac{3\pi}{10} + \frac{2k\pi}{10} + \frac{22\pi}{10} = \frac{19\pi}{10} + \frac{2k\pi}{10} = x$$ Donc $x \in F$. - De même, tout élément de $F$ est dans $E$ en inversant la substitution. Ainsi, $E = F$. --- 3. **Exercice 49 - Question 1 :** Déterminer : $$A = \left\{ -\frac{\pi}{5} + k\frac{\pi}{4} \mid k \in \mathbb{N} \right\} \cap [-\pi ; \pi]$$ - Trouvons les valeurs de $k$ telles que $$-\pi \leq -\frac{\pi}{5} + k\frac{\pi}{4} \leq \pi$$ - Ajouter $\frac{\pi}{5}$ partout : $$-\pi + \frac{\pi}{5} \leq k\frac{\pi}{4} \leq \pi + \frac{\pi}{5}$$ - Simplifions : $$-\frac{4\pi}{5} \leq k\frac{\pi}{4} \leq \frac{6\pi}{5}$$ - Divisons par $\frac{\pi}{4} > 0$ : $$-\frac{4\pi}{5} \times \frac{4}{\pi} \leq k \leq \frac{6\pi}{5} \times \frac{4}{\pi}$$ $$-\frac{16}{5} \leq k \leq \frac{24}{5}$$ - Comme $k \in \mathbb{N}$ (naturels, donc $k \geq 0$), on prend $$0 \leq k \leq 4$$ - Les valeurs entières possibles sont $k = 0,1,2,3,4$. - Les éléments correspondants sont : $$-\frac{\pi}{5}, -\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{5} + 2\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{5} + 3\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{5} + 4\frac{\pi}{4}$$ --- 4. **Exercice 49 - Question 2 :** Déterminer : $$B = \left\{ -\frac{\pi}{2} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cap \left[-\frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{4} \right]$$ - Trouvons $k$ tels que $$-\frac{\pi}{3} \leq -\frac{\pi}{2} + k\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4}$$ - Ajouter $\frac{\pi}{2}$ partout : $$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \leq k\frac{\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}$$ - Simplifions : $$\frac{\pi}{6} \leq k\frac{\pi}{2} \leq \frac{3\pi}{4}$$ - Divisons par $\frac{\pi}{2} > 0$ : $$\frac{\pi}{6} \times \frac{2}{\pi} \leq k \leq \frac{3\pi}{4} \times \frac{2}{\pi}$$ $$\frac{1}{3} \leq k \leq \frac{3}{2}$$ - Comme $k \in \mathbb{Z}$, $k = 1$. - L'élément correspondant est : $$-\frac{\pi}{2} + 1 \times \frac{\pi}{2} = 0$$ --- 5. **Exercice 49 - Question 3 :** Déterminer : $$C = \left\{ -3k\frac{\pi}{5} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cap [0 ; \frac{\pi}{2}]$$ - Trouvons $k$ tels que $$0 \leq -3k\frac{\pi}{5} \leq \frac{\pi}{2}$$ - Divisons par $\frac{\pi}{5} > 0$ : $$0 \leq -3k \leq \frac{5}{2}$$ - Multiplions par $-1$ (inversion des inégalités) : $$0 \geq 3k \geq -\frac{5}{2}$$ - Divisons par 3 : $$0 \geq k \geq -\frac{5}{6}$$ - Comme $k \in \mathbb{Z}$, $k = 0$ ou $k = -1$. - Les éléments correspondants sont : Pour $k=0$ : $0$ Pour $k=-1$ : $$-3(-1)\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}$$ - Vérifions que $\frac{3\pi}{5} \leq \frac{\pi}{2}$ ? $$\frac{3\pi}{5} = 3 \times 0.628 = 1.884 > 1.5708 = \frac{\pi}{2}$$ Donc $k=-1$ n'est pas dans l'intervalle. - Seul $k=0$ convient, donc l'ensemble est $\{0\}$. --- **Réponses finales :** 1) $\left\{ -\frac{\pi}{5}, -\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{5} + 2\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{5} + 3\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{5} + 4\frac{\pi}{4} \right\}$ 2) $\{0\}$ 3) $\{0\}$