Equation Differentielle 7Eff06

1. **Énoncé du problème** : Résoudre l'équation différentielle $$x''(t)-5x'(t)+6x(t)=6\delta(t)-4$$ avec les conditions initiales $$x(0)=0$$ et $$x'(0)=1$$ en utilisant le calcul opérationnel (transformée de Laplace). 2. **Formule et règles importantes** : La transformée de Laplace de la dérivée est donnée par : $$\mathcal{L}\{x'(t)\} = sX(s) - x(0)$$ $$\mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2X(s) - sx(0) - x'(0)$$ où $$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}$$. La transformée de Laplace de $$\delta(t)$$ est 1. 3. **Application de la transformée de Laplace à l'équation** : $$\mathcal{L}\{x''(t) - 5x'(t) + 6x(t)\} = \mathcal{L}\{6\delta(t) - 4\}$$ soit $$s^2X(s) - sx(0) - x'(0) - 5(sX(s) - x(0)) + 6X(s) = 6 \cdot 1 - \frac{4}{s}$$ En remplaçant $$x(0)=0$$ et $$x'(0)=1$$ : $$s^2X(s) - 0 - 1 - 5(sX(s) - 0) + 6X(s) = 6 - \frac{4}{s}$$ Ce qui donne : $$s^2X(s) - 1 - 5sX(s) + 6X(s) = 6 - \frac{4}{s}$$ 4. **Regroupement des termes en $$X(s)$$** : $$X(s)(s^2 - 5s + 6) = 6 - \frac{4}{s} + 1$$ $$X(s)(s^2 - 5s + 6) = 7 - \frac{4}{s}$$ 5. **Factorisation du polynôme caractéristique** : $$s^2 - 5s + 6 = (s-2)(s-3)$$ 6. **Expression finale de $$X(s)$$** : $$X(s) = \frac{7 - \frac{4}{s}}{(s-2)(s-3)} = \frac{7s - 4}{s(s-2)(s-3)}$$ 7. **Décomposition en éléments simples** : Posons $$\frac{7s - 4}{s(s-2)(s-3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-2} + \frac{C}{s-3}$$ Multiplions par le dénominateur : $$7s - 4 = A(s-2)(s-3) + Bs(s-3) + Cs(s-2)$$ 8. **Calcul des coefficients** : - Pour $$s=0$$ : $$-4 = A(-2)(-3) = 6A \Rightarrow A = -\frac{2}{3}$$ - Pour $$s=2$$ : $$7\cdot 2 - 4 = B \cdot 2 \cdot (2-3) = 10 = B \cdot 2 \cdot (-1) = -2B \Rightarrow B = -5$$ - Pour $$s=3$$ : $$7\cdot 3 - 4 = C \cdot 3 \cdot (3-2) = 17 = 3C \Rightarrow C = \frac{17}{3}$$ 9. **Inverse de Laplace** : $$x(t) = -\frac{2}{3} \cdot 1 + (-5)e^{2t} + \frac{17}{3} e^{3t}$$ soit $$x(t) = -\frac{2}{3} - 5 e^{2t} + \frac{17}{3} e^{3t}$$ 10. **Vérification des conditions initiales** : - $$x(0) = -\frac{2}{3} - 5 + \frac{17}{3} = -\frac{2}{3} - \frac{15}{3} + \frac{17}{3} = 0$$ - $$x'(t) = 0 - 5 \cdot 2 e^{2t} + \frac{17}{3} \cdot 3 e^{3t} = -10 e^{2t} + 17 e^{3t}$$ - $$x'(0) = -10 + 17 = 7$$ Il y a une erreur dans la condition initiale $$x'(0)$$ qui doit être $$1$$, or on obtient $$7$$. 11. **Correction** : Reprenons l'équation pour $$X(s)$$ en tenant compte correctement de $$x'(0) = 1$$ : $$s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) - 5(s X(s) - x(0)) + 6 X(s) = 6 - \frac{4}{s}$$ $$s^2 X(s) - 1 - 5 s X(s) + 6 X(s) = 6 - \frac{4}{s}$$ $$X(s)(s^2 - 5 s + 6) = 6 - \frac{4}{s} + 1$$ $$X(s)(s^2 - 5 s + 6) = 7 - \frac{4}{s}$$ Cette étape est correcte, donc la décomposition est correcte. 12. **Recalcul de la dérivée initiale** : $$x(t) = -\frac{2}{3} + (-5) e^{2t} + \frac{17}{3} e^{3t}$$ $$x'(t) = 0 - 5 \cdot 2 e^{2t} + \frac{17}{3} \cdot 3 e^{3t} = -10 e^{2t} + 17 e^{3t}$$ $$x'(0) = -10 + 17 = 7$$ La condition initiale $$x'(0) = 1$$ n'est pas satisfaite, donc il faut vérifier la transformée de Laplace initiale. 13. **Recalcul de la transformée de Laplace avec conditions initiales** : L'équation transformée est : $$s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) - 5 (s X(s) - x(0)) + 6 X(s) = 6 - \frac{4}{s}$$ Avec $$x(0) = 0$$ et $$x'(0) = 1$$ : $$s^2 X(s) - 1 - 5 s X(s) + 6 X(s) = 6 - \frac{4}{s}$$ $$X(s)(s^2 - 5 s + 6) = 6 - \frac{4}{s} + 1$$ $$X(s)(s^2 - 5 s + 6) = 7 - \frac{4}{s}$$ 14. **Conclusion** : Le résultat est correct, mais la condition initiale $$x'(0) = 1$$ n'est pas satisfaite par la solution trouvée, ce qui indique une possible erreur dans l'énoncé ou dans l'interprétation de $$\delta(t)$$. **Réponse finale** : $$x(t) = -\frac{2}{3} - 5 e^{2t} + \frac{17}{3} e^{3t}$$ avec $$x(0) = 0$$ et $$x'(0) = 7$$ (non égal à 1).