Question: Exercice 1 — Fonctions usuelles et binômes
1) Compléter $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}$
2) Calculer les limites suivantes :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$
$\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x - 2x}{x + 3}$
3) Simplifier :
$\frac{\sqrt{x} + 3x \times (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}$
4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation (E) : $2x - 1 = \sqrt{x}$
### Exercice 1 — Fonctions usuelles et binômes
1. **Compléter $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}$**
Cette question semble demander de compléter des ensembles de définition ou d'autres expressions liées à $\mathbb{R}$, mais sans plus de contexte, on passe à la suite.
2. **Calcul des limites**
1. Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}$
- Pour $x \to +\infty$, le dénominateur $x - 3 \to +\infty$.
- Le numérateur $\sqrt{x} - \sqrt{3} \sim \sqrt{x}$.
- Donc la limite est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$, on peut simplifier en divisant numérateur et dénominateur par $\sqrt{x}$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}(1 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}})}{x - 3}$$
Ou mieux, diviser numérateur et dénominateur par $x$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{\sqrt{3}}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{3}}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0$$
**Réponse :** $0$
2. Calcul de $\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$
- Cette limite est de forme $\frac{0}{0}$, on peut utiliser la conjugaison ou la règle de l'Hôpital.
- Utilisation de la conjugaison :
$$\frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \times \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} = \frac{1 - x}{(x - 1)(1 + \sqrt{x})} = \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(1 + \sqrt{x})} = \frac{-1}{1 + \sqrt{x}}$$
- En faisant tendre $x$ vers $1$ :
$$\lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$$
**Réponse :** $-\frac{1}{2}$
3. Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x - 2x}{x + 3}$
- Simplifions le numérateur : $x^2 + x - 2x = x^2 - x$
- Divisons numérateur et dénominateur par $x$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x}{x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(x - 1)}{x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(x - 1)}{x + 3}$$
- Divisons numérateur et dénominateur par $x$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{1 + \frac{3}{x}} = +\infty$$
**Réponse :** $+\infty$
3. **Simplification**
Simplifier :
$$\frac{\sqrt{x} + 3x \times (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}$$
- Calculons $(\sqrt{3})^2 = 3$
- Donc l'expression devient :
$$\frac{\sqrt{x} + 3x \times 3}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{x} + 9x}{\sqrt{3}}$$
- On peut écrire :
$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}} + \frac{9x}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}} + 9x \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}} + 3 \sqrt{3} x$$
**Réponse simplifiée :** $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}} + 3 \sqrt{3} x$
4. **Résolution de l’équation (E) : $2x - 1 = \sqrt{x}$ dans $\mathbb{R}$**
- Posons $y = \sqrt{x}$, donc $x = y^2$ avec $y \geq 0$.
- L'équation devient :
$$2y^2 - 1 = y$$
- Réarrangeons :
$$2y^2 - y - 1 = 0$$
- Résolvons cette équation quadratique en $y$ :
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9$$
$$y = \frac{1 \pm 3}{2 \times 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$$
- Deux solutions :
- $y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$
- $y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ (non valide car $y = \sqrt{x} \geq 0$)
- Donc $y = 1$, donc $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$
**Solution dans $\mathbb{R}$ :** $x = 1$