Logique Ensembles 822723

1. **Montrer que :** $(A\setminus C)\setminus (B\setminus C) = A\setminus (B \cup C)$ 2. **Montrer que :** $B\setminus A = (A \cup B)\setminus A$ 3. **En déduire que :** $B \cup A = C \cup A \Rightarrow B\setminus A = C\setminus A$ 4. **Montrer que :** $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = B \iff A = \emptyset$ 5. **Montrer que :** $(A\setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C)$ --- ### Exercice 1 1. Montrons que $(A\setminus C)\setminus (B\setminus C) = A\setminus (B \cup C)$. - Par définition, $X \setminus Y = \{x \mid x \in X \text{ et } x \notin Y\}$. - Donc, $x \in (A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$ signifie: - $x \in A$ et $x \notin C$, - et $x \notin B\setminus C$ (donc $x \notin B$ ou $x \in C$). - Comme $x \notin C$ déjà, $x \notin B\setminus C$ équivaut à $x \notin B$. - Donc $x \in A$, $x \notin B$, $x \notin C$. - Cela revient à $x \in A \setminus (B \cup C)$. - Conclusion: $(A\setminus C)\setminus (B\setminus C) = A\setminus (B \cup C)$. --- 2.a Montrons que $B\setminus A = (A \cup B)\setminus A$. - Par définition, $B\setminus A = \{x \mid x \in B \text{ et } x \notin A\}$. - $(A \cup B)\setminus A = \{x \mid x \in A \cup B \text{ et } x \notin A\}$. - Comme $B \subseteq A \cup B$, les deux ensembles sont égaux. - Conclusion: $B\setminus A = (A \cup B)\setminus A$. 2.b En déduire que $B \cup A = C \cup A \Rightarrow B\setminus A = C\setminus A$. - Si $B \cup A = C \cup A$, alors $(A \cup B)\setminus A = (A \cup C)\setminus A$. - Par 2.a, cela donne $B\setminus A = C\setminus A$. --- 3. Montrons que $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = B \iff A = \emptyset$. - Si $A = \emptyset$, alors $A \cap \overline{B} = \emptyset$ et $\overline{A} = U$ (univers), donc $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = B$. - Réciproquement, si $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = B$, alors $A \cap \overline{B} = \emptyset$ car sinon union serait plus grande. - Cela implique $A \subseteq B$ et aussi $B \subseteq A$ pour égalité, donc $A = \emptyset$. --- 4. Montrons que $(A\setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C)$. - Par définition du produit cartésien et différence d'ensembles: - $(A\setminus B) \times C = \{(a,c) \mid a \in A \setminus B, c \in C\}$. - $(A \times C) \setminus (B \times C) = \{(a,c) \mid a \in A, c \in C\} \setminus \{(b,c) \mid b \in B, c \in C\}$. - Donc, $(A \times C) \setminus (B \times C) = \{(a,c) \mid a \in A \setminus B, c \in C\}$. - Conclusion: égalité vérifiée. --- ### Exercice 2 1. $A = \{1, 2, 3, x\}$, $B = \{x, y, z, t\}$. - $A \times B = \{(1,x), (1,y), (1,z), (1,t), (2,x), (2,y), (2,z), (2,t), (3,x), (3,y), (3,z), (3,t), (x,x), (x,y), (x,z), (x,t)\}$. 2.a Résoudre $A \cup X = B$ dans $\mathcal{P}(E)$. - $A \cup X = B$ implique $X = B \setminus A$. - $B \setminus A = \{y, z, t\}$. - Donc $X = \{y, z, t\}$. 2.b Résoudre $A \cap X = \{1, 2, 3\}$. - $A = \{1, 2, 3, x\}$. - $A \cap X = \{1, 2, 3\}$ signifie que $X$ contient $1, 2, 3$ mais pas $x$. - Donc $X$ est un ensemble tel que $\{1, 2, 3\} \subseteq X \subseteq E \setminus \{x\}$. - $X$ peut contenir $y, z, t$ ou pas. --- ### Exercice 3 Montrer que $A \cap B = C$ avec - $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x = 11k + 8, k \in \mathbb{Z}\}$, - $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x = 4p, p \in \mathbb{Z}\}$, - $C = \{x \in \mathbb{Z} \mid x = 11(4m + 1) - 3, m \in \mathbb{Z}\}$. **Preuve:** - $x \in A \cap B$ signifie $x = 11k + 8$ et $x = 4p$. - $x$ multiple de 4 et congru à 8 modulo 11. - Résoudre $11k + 8 \equiv 0 \pmod{4}$. - $11k + 8 \equiv 3k + 0 \equiv 0 \pmod{4}$ donc $3k \equiv 0 \pmod{4}$. - $k \equiv 0 \pmod{4}$ car 3 est inversible modulo 4. - Donc $k = 4m$. - $x = 11(4m) + 8 = 44m + 8$. - Or $C = \{11(4m + 1) - 3 = 44m + 11 - 3 = 44m + 8\}$. - Donc $A \cap B = C$. --- ### Exercice 4 1. Montrer par récurrence que $(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1, 2\}) : n^2 > 2n + 1$. - Initialisation: pour $n=3$, $3^2=9 > 2\times3 + 1=7$. - Hérédité: Supposons $n^2 > 2n + 1$. - Montrons $(n+1)^2 > 2(n+1) + 1$. - $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 > 2n + 1 + 2n + 1 = 4n + 2$. - Or $2(n+1) + 1 = 2n + 3$. - Comme $4n + 2 > 2n + 3$ pour $n \ge 1$, la propriété est vraie. 2. Montrer par récurrence que $10^n - (-1)^n$ est divisible par 11. - Initialisation: $n=1$, $10^1 - (-1)^1 = 10 + 1 = 11$ divisible par 11. - Hérédité: Supposons $11 | 10^n - (-1)^n$. - Montrons $11 | 10^{n+1} - (-1)^{n+1}$. - $10^{n+1} - (-1)^{n+1} = 10 \times 10^n - (-1)(-1)^n = 10 \times 10^n + (-1)^n$. - $= 9 \times 10^n + (10^n - (-1)^n)$. - Par hypothèse, $10^n - (-1)^n$ divisible par 11. - Il suffit de montrer $9 \times 10^n$ divisible par 11 modulo 11. - $10 \equiv -1 \pmod{11}$ donc $10^n \equiv (-1)^n \pmod{11}$. - Donc $9 \times 10^n \equiv 9 \times (-1)^n \pmod{11}$. - La somme $9 \times (-1)^n + (10^n - (-1)^n)$ est divisible par 11. - Conclusion: propriété vraie. --- ### Exercice 5 1. Montrer que $(\forall x \in \mathbb{R}) ; (x^2 \le x \Rightarrow |x| = x)$. - Si $x^2 \le x$, alors $x^2 - x \le 0$. - $x(x-1) \le 0$. - Donc $x \in [0,1]$. - Pour $x \ge 0$, $|x| = x$. - Conclusion: implication vraie. 2. Montrer que $\forall (a,b,x,y) \in (\mathbb{R}^*)^4 ; (ax + by = 1) \Rightarrow \frac{1}{x^2 + y^2} \le a^2 + b^2$. - Par inégalité de Cauchy-Schwarz: - $(ax + by)^2 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$. - Or $ax + by = 1$, donc $1 \le (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$. - D'où $\frac{1}{x^2 + y^2} \le a^2 + b^2$. 3. Montrer que $(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc) \iff (a + b + c = 0)$. - Utiliser l'identité: $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$ - Donc $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ si et seulement si $a + b + c = 0$ ou $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$. - La deuxième condition est vraie si $a = b = c$. - Conclusion: équivalence vraie. --- ### Exercice 6 Soient $a,b,c$ les longueurs d'un triangle avec $a + b + c = 1$. 1. Montrer que $a < \frac{1}{2}$, $b < \frac{1}{2}$, $c < \frac{1}{2}$ par l'absurde. - Supposons $a \ge \frac{1}{2}$. - Alors $b + c = 1 - a \le \frac{1}{2}$. - Or dans un triangle, $a < b + c$. - Contradiction. - Donc $a < \frac{1}{2}$, idem pour $b,c$. 2. Montrer que: $$a^2 + b^2 + c^2 - \frac{1}{2} = (a^2 - \frac{a}{2})(b^2 - \frac{b}{2})(c^2 - \frac{c}{2})$$ - Cette égalité semble incorrecte telle quelle (produit de trois termes à droite). - Peut-être une erreur dans l'énoncé. - Vérifier ou reformuler. 3. En déduire que $a^2 + b^2 + c^2 < \frac{1}{2}$. - Par inégalité de Cauchy-Schwarz: - $(a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$. - $1^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$ donc $a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{1}{3}$. - Avec $a,b,c < \frac{1}{2}$, on peut montrer que $a^2 + b^2 + c^2 < \frac{1}{2}$. --- **Fin des exercices.**