Question: 1. Soient $y \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}^+$ ; montrer que : a. $(y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 - 8 \neq 0)$. b. $(x \neq 0) \Rightarrow (\sqrt{x} + 1 \neq 1 + \frac{x}{2})$ 2. Soit $n \in \mathbb{N}$ ; montrer que si $(n^2 \text{ est pair})$ alors $(n \text{ est pair})$ 3. Soient $x, y \in ]2; +\infty[$. montrer que : $(x \neq y) \Rightarrow (x^2 - 4x \neq y^2 - 4y)$

1. Montrons que pour $y \in \mathbb{R}$, si $y \neq 2$ et $y \neq -2$, alors $2y^2 - 8 \neq 0$. 1.1. Écrivons l'équation $2y^2 - 8 = 0$. 1.2. Simplifions : $$2y^2 - 8 = 0 \Rightarrow 2y^2 = 8 \Rightarrow y^2 = \frac{8}{2} = 4.$$ 1.3. Les solutions sont donc $y = \pm 2$. 1.4. Par conséquent, si $y \neq 2$ et $y \neq -2$, alors $2y^2 - 8 \neq 0$. --- 2. Montrons que pour $x \in \mathbb{R}^+$, si $x \neq 0$, alors $\sqrt{x} + 1 \neq 1 + \frac{x}{2}$. 2.1. Supposons par l'absurde que $\sqrt{x} + 1 = 1 + \frac{x}{2}$. 2.2. Simplifions en enlevant 1 des deux côtés : $$\sqrt{x} = \frac{x}{2}.$$ 2.3. Élevons au carré : $$x = \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}.$$ 2.4. Multiplions par 4 : $$4x = x^2.$$ 2.5. Réarrangeons : $$x^2 - 4x = 0.$$ 2.6. Factorisons : $$x(x - 4) = 0.$$ 2.7. Les solutions sont $x = 0$ ou $x = 4$. 2.8. Or $x \neq 0$ par hypothèse, donc $x = 4$. 2.9. Vérifions pour $x=4$ : $$\sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3,$$ et $$1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3.$$ 2.10. Donc l'égalité est vraie pour $x=4$. 2.11. Cela contredit l'énoncé qui dit que pour tout $x \neq 0$, l'égalité ne tient pas. 2.12. Conclusion : l'énoncé est faux tel quel, sauf si on exclut $x=4$. --- 3. Montrons que pour $n \in \mathbb{N}$, si $n^2$ est pair alors $n$ est pair. 3.1. Supposons que $n^2$ est pair. 3.2. Montrons par contraposée que si $n$ est impair alors $n^2$ est impair. 3.3. Si $n$ est impair, alors $n = 2k + 1$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$. 3.4. Calculons $n^2$ : $$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1,$$ qui est impair. 3.5. Donc si $n$ est impair, $n^2$ est impair. 3.6. Par contraposée, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. --- 4. Montrons que pour $x, y \in ]2; +\infty[$, si $x \neq y$ alors $x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$. 4.1. Supposons par l'absurde que $x^2 - 4x = y^2 - 4y$ avec $x \neq y$. 4.2. Réarrangeons : $$x^2 - y^2 = 4x - 4y.$$ 4.3. Factorisons : $$(x - y)(x + y) = 4(x - y).$$ 4.4. Comme $x \neq y$, on peut diviser par $x - y$ : $$x + y = 4.$$ 4.5. Or $x, y > 2$, donc $x + y > 4$. 4.6. Cela contredit $x + y = 4$. 4.7. Donc $x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$ si $x \neq y$. **Réponses finales :** 1. $(y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 - 8 \neq 0)$ est vrai. 2. $(x \neq 0) \Rightarrow (\sqrt{x} + 1 \neq 1 + \frac{x}{2})$ est faux car $x=4$ est une contre-exemple. 3. Si $n^2$ est pair alors $n$ est pair est vrai. 4. $(x \neq y) \Rightarrow (x^2 - 4x \neq y^2 - 4y)$ est vrai.