Absolute Inequalities 67638A

1. **问题陈述** 本节介绍实数 $x$ 的绝对值定义及其性质，并列举常用不等式，包括伯努利不等式、柯西不等式、赫尔德不等式和调和-几何-算术平均值不等式。 2. **绝对值的定义** 绝对值 $|x|$ 定义为： $$ |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases} $$ 这表示 $|x|$ 是点 $x$ 到原点 $O$ 的距离，必为非负实数。 3. **绝对值的性质** - $|x| = \sqrt{x^2}$，说明绝对值是平方根形式。 - $|x| \geq 0$，绝对值非负。 - $|-x| = |x|$，绝对值对符号不敏感。 - $-|x| \leq x \leq |x|$，$x$ 被其绝对值界定。 - $|x+y| \leq |x| + |y|$，三角不等式。 - $|x-y| \geq ||x| - |y||$，绝对值差的下界。 - $|xy| = |x||y|$，乘积的绝对值。 - $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$，商的绝对值。 - 当 $a > 0$ 时，$|x| < a \iff -a < x < a$。 - 当 $b > 0$ 时，$|x| > b \iff x < -b$ 或 $x > b$。 4. **常用不等式** - **伯努利不等式**：设 $x > -1$，$n \geq 1$ 为自然数，则 $$ (1+x)^n \geq 1 + nx. $$ - **柯西不等式**：对于实数 $x_i, y_i$，有 $$ \left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right). $$ - **赫尔德不等式**：设 $p, q > 0$ 且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则 $$ \sum_{i=1}^n x_i y_i \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}. $$ - **调和-几何-算术平均值不等式**：设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 为 $n$ 个正实数，则（具体公式未给出，通常为调和平均数 $\\leq$ 几何平均数 $\\leq$ 算术平均数）。 5. **总结** 绝对值及其性质是理解实数距离和不等式的基础，掌握这些不等式对学习微积分及高等数学非常重要。