Question: Convex/concave functie
Def: C \subseteq \mathbb{R}^m is convex als
\forall x,y \in C, \forall t \in [0,1]: (1-t)x + ty \in C
Bv.
tegenvoorbeeld:
Def: C \subseteq \mathbb{R}^m convex, f : C \to \mathbb{R} is
\bullet convex als \forall x,y \in C, \forall t \in [0,1] : f((1-t)x+ty) \leq (1-t)f(x) + tf(y)
\bullet concaaf '' '' '' '' '' '' '' : f((1-t)x+ty) \geq (1-t)f(x) + tf(y)
convex: grafiek van f ligt
onder lijnstuk tussen (x,f(x))
en (y,f(y))
concaaf: grafiek van f ligt
boven lijnstuk tussen (x,f(x)) en (y,f(y))
\forall x \in C: H_f(x) is convex
m = 1
\forall x \in C: H_f(x) is = semidef
m = 1
Stelling: f : C \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, continu tweemaal differentieerbaar
a \in C kritisch punt van f
\bullet f convex \Rightarrow f heeft globaal min in a
\bullet f concaaf \Rightarrow f heeft globaal max in a
1. **Probleemstelling:** We willen begrijpen wat het betekent dat een functie $f$ convex of concaaf is, en wat de implicaties zijn voor kritieke punten van $f$.
2. **Definitie van convexiteit van een verzameling $C$:**
Een verzameling $C \subseteq \mathbb{R}^m$ is convex als voor alle $x,y \in C$ en voor alle $t \in [0,1]$ geldt:
$$
(1-t)x + ty \in C
$$
Dit betekent dat de lijn tussen $x$ en $y$ volledig in $C$ ligt.
3. **Definitie van convexiteit en concaviteit van een functie $f : C \to \mathbb{R}$:**
- $f$ is convex als voor alle $x,y \in C$ en $t \in [0,1]$ geldt:
$$
f((1-t)x + ty) \leq (1-t)f(x) + tf(y)
$$
- $f$ is concaaf als voor alle $x,y \in C$ en $t \in [0,1]$ geldt:
$$
f((1-t)x + ty) \geq (1-t)f(x) + tf(y)
$$
Deze ongelijkheden betekenen dat de grafiek van $f$ respectievelijk onder of boven het lijnstuk tussen $(x,f(x))$ en $(y,f(y))$ ligt.
4. **Interpretatie:**
- Bij een convex functie ligt de grafiek onder de verbindingslijn tussen twee punten op de grafiek.
- Bij een concaaf functie ligt de grafiek boven die verbindingslijn.
5. **Hessian matrix $H_f(x)$:**
Voor $f$ tweemaal continu differentieerbaar geldt:
- $f$ is convex als voor alle $x \in C$ de Hessiaan $H_f(x)$ positief semidefiniet is.
- $f$ is concaaf als voor alle $x \in C$ de Hessiaan $H_f(x)$ negatief semidefiniet is.
Voor $m=1$ (ééndimensionale functies) betekent dit:
- $f$ convex \Leftrightarrow $f''(x) \geq 0$ voor alle $x$.
- $f$ concaaf \Leftrightarrow $f''(x) \leq 0$ voor alle $x$.
6. **Stelling over kritieke punten:**
Als $a \in C$ een kritisch punt is van $f$ (dat wil zeggen $\nabla f(a) = 0$), dan geldt:
- Als $f$ convex is, dan is $a$ een globaal minimum van $f$.
- Als $f$ concaaf is, dan is $a$ een globaal maximum van $f$.
7. **Samenvatting:**
- Convexiteit van $f$ betekent dat de grafiek 'bol omhoog' ligt en dat kritieke punten minima zijn.
- Concaviteit betekent dat de grafiek 'bol omlaag' ligt en dat kritieke punten maxima zijn.
Deze eigenschappen zijn erg belangrijk in optimalisatie en analyse van functies.