Question: 工科数学分析作业题（高三班）
1.2
1. 指出下列函数中的奇、偶函数和周期函数：
(1) y = |sin x|；
(2) y = 2 + tan \pi x；
(3) y = 2^x - 3，求f(x^2), [f(a)]^2；
(3) y = |\lg(x + \sqrt{x^2 + 1})|；
(4) y = 3^{x} \cdot (1 + 3^x)^{-1}；
2. 求下列函数的反函数及其定义域：
(1) y = \frac{2}{1 + 2^x}；
1. 题目要求判断函数的奇偶性和周期性，并计算复合函数及平方函数值。
2. 题目要求求反函数及其定义域。
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### 1. 判断奇偶性和周期性
#### (1) $y = |\sin x|$
1. 奇函数定义：$f(-x) = -f(x)$，偶函数定义：$f(-x) = f(x)$。
2. 计算：
$$
|\sin(-x)| = | -\sin x| = |\sin x| = y
$$
3. 因此，$y = |\sin x|$ 是偶函数。
4. 周期性：$\sin x$ 的周期是 $2\pi$，绝对值不改变周期，故周期为 $2\pi$。
#### (2) $y = 2 + \tan \pi x$
1. 计算奇偶性：
$$
y(-x) = 2 + \tan(-\pi x) = 2 - \tan \pi x \neq \pm y(x)
$$
2. 不是奇函数也不是偶函数。
3. 周期性：$\tan \theta$ 的周期是 $\pi$，这里自变量是 $\pi x$，周期满足
$$
\tan \pi (x + T) = \tan \pi x \Rightarrow \pi T = \pi \Rightarrow T = 1
$$
4. 因此，周期为 $1$。
#### (3) $y = 2^x - 3$
1. 计算 $f(x^2)$：
$$
f(x^2) = 2^{x^2} - 3
$$
2. 计算 $[f(a)]^2$：
$$
[f(a)]^2 = (2^a - 3)^2
$$
#### (4) $y = |\lg(x + \sqrt{x^2 + 1})|$
1. 观察函数内部：
$$
x + \sqrt{x^2 + 1} > 0 \quad \forall x
$$
2. 计算奇偶性：
$$
f(-x) = |\lg(-x + \sqrt{x^2 + 1})|
$$
3. 注意：
$$
-x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \Rightarrow \lg(-x + \sqrt{x^2 + 1}) = -\lg(x + \sqrt{x^2 + 1})
$$
4. 因此：
$$
f(-x) = |-\lg(x + \sqrt{x^2 + 1})| = |\lg(x + \sqrt{x^2 + 1})| = f(x)
$$
5. 故为偶函数。
#### (5) $y = 3^x \cdot (1 + 3^x)^{-1}$
1. 计算奇偶性：
$$
y(-x) = 3^{-x} \cdot (1 + 3^{-x})^{-1} = \frac{3^{-x}}{1 + 3^{-x}} = \frac{1/3^x}{1 + 1/3^x} = \frac{1}{3^x + 1}
$$
2. 原函数为：
$$
y(x) = \frac{3^x}{1 + 3^x}
$$
3. 显然 $y(-x) \neq y(x)$ 且 $y(-x) \neq -y(x)$，故既非奇函数也非偶函数。
4. 周期性：指数函数无周期，故无周期。
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### 2. 求反函数及定义域
#### (1) $y = \frac{2}{1 + 2^x}$
1. 定义域：$x \in \mathbb{R}$，分母 $1 + 2^x > 0$ 恒成立。
2. 求反函数：
$$
y = \frac{2}{1 + 2^x} \Rightarrow 1 + 2^x = \frac{2}{y} \Rightarrow 2^x = \frac{2}{y} - 1
$$
3. 注意 $2^x > 0$，故
$$
\frac{2}{y} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{2}{y} > 1 \Rightarrow y < 2
$$
4. 取对数：
$$
x = \log_2 \left( \frac{2}{y} - 1 \right)
$$
5. 反函数为：
$$
f^{-1}(y) = \log_2 \left( \frac{2}{y} - 1 \right)
$$
6. 反函数定义域：
$$
0 < y < 2
$$
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### 总结
- (1) $|\sin x|$ 是偶函数，周期为 $2\pi$。
- (2) $2 + \tan \pi x$ 既非奇函数也非偶函数，周期为 $1$。
- (3) $2^x - 3$ 计算复合函数 $f(x^2) = 2^{x^2} - 3$，平方 $[f(a)]^2 = (2^a - 3)^2$。
- (4) $|\lg(x + \sqrt{x^2 + 1})|$ 是偶函数。
- (5) $3^x/(1 + 3^x)$ 既非奇函数也非偶函数，无周期。
- 反函数 $y = \frac{2}{1 + 2^x}$ 的反函数为 $f^{-1}(y) = \log_2 \left( \frac{2}{y} - 1 \right)$，定义域 $0 < y < 2$。