Question: 1. Soient $y \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}^+$ ; montrer que :\na. $(y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 - 8 \neq 0)$ .\nb. $(x \neq 0) \Rightarrow (\sqrt{x + 1} \neq 1 + \frac{x}{2})$\n2. Soit $n \in \mathbb{N}$ ; montrer que si $(n^2 \text{ est pair})$ alors $(n \text{ est pair})$\n3. Soient $x ; y \in ]2 ; +\infty[$ , montrer que : $(x \neq y) \Rightarrow (x^2 - 4x \neq y^2 - 4y)$

1. Montrons que $(y \neq 2 \text{ et } y \neq -2) \Rightarrow (2y^2 - 8 \neq 0)$. 1.1. Énoncé du problème : Prouver que si $y$ n'est ni $2$ ni $-2$, alors $2y^2 - 8 \neq 0$. 1.2. Formule et règles importantes : L'expression $2y^2 - 8$ peut être factorisée comme $2(y^2 - 4)$. 1.3. Factorisation : $$2y^2 - 8 = 2(y^2 - 4) = 2(y - 2)(y + 2)$$ 1.4. Analyse : - Si $2y^2 - 8 = 0$, alors $2(y - 2)(y + 2) = 0$. - Cela implique que $(y - 2)(y + 2) = 0$. - Donc, $y = 2$ ou $y = -2$. 1.5. Conclusion : - Si $y \neq 2$ et $y \neq -2$, alors $2y^2 - 8 \neq 0$. --- 2. Montrons que $(x \neq 0) \Rightarrow (\sqrt{x + 1} \neq 1 + \frac{x}{2})$ pour $x \in \mathbb{R}^+$. 2.1. Énoncé : Prouver que pour $x > 0$, $\sqrt{x + 1} \neq 1 + \frac{x}{2}$. 2.2. Supposons par l'absurde que $\sqrt{x + 1} = 1 + \frac{x}{2}$. 2.3. Élevons au carré des deux côtés : $$x + 1 = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 = 1 + x + \frac{x^2}{4}$$ 2.4. Simplifions : $$x + 1 = 1 + x + \frac{x^2}{4} \implies 0 = \frac{x^2}{4}$$ 2.5. Cela implique $x^2 = 0$, donc $x = 0$. 2.6. Contradiction avec $x \neq 0$. 2.7. Conclusion : - Pour $x \neq 0$, $\sqrt{x + 1} \neq 1 + \frac{x}{2}$. --- 3. Montrons que si $n \in \mathbb{N}$ et $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. 3.1. Énoncé : Prouver que la parité de $n^2$ implique la parité de $n$. 3.2. Supposons que $n$ est impair, donc $n = 2k + 1$ pour un $k \in \mathbb{N}$. 3.3. Calculons $n^2$ : $$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$ 3.4. $n^2$ est donc impair. 3.5. Contradiction avec $n^2$ pair. 3.6. Conclusion : - Si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. --- 4. Montrons que pour $x,y \in ]2, +\infty[$, $(x \neq y) \Rightarrow (x^2 - 4x \neq y^2 - 4y)$. 4.1. Énoncé : Prouver que si $x \neq y$, alors $x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$. 4.2. Supposons par l'absurde que $x^2 - 4x = y^2 - 4y$ avec $x \neq y$. 4.3. Réarrangeons : $$x^2 - y^2 = 4x - 4y$$ 4.4. Factorisons : $$(x - y)(x + y) = 4(x - y)$$ 4.5. Comme $x \neq y$, on peut diviser par $(x - y)$ : $$x + y = 4$$ 4.6. Or $x,y > 2$, donc $x + y > 4$. 4.7. Contradiction. 4.8. Conclusion : - Si $x \neq y$, alors $x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$. Réponses complètes données pour les 4 questions.