Multi Problems A4101A

1. **Câu 1:** Bài toán yêu cầu tính tổng số đơn vị nguyên liệu cần dự trữ khi cơ sở sản xuất dùng ba loại nguyên liệu để sản xuất bốn loại sản phẩm. Ma trận định mức nguyên liệu là $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix}$$ Kế hoạch sản xuất là $$X=\begin{pmatrix}10 \\ 20 \\ 15 \\ 25\end{pmatrix}$$ 2. **Tính tổng nguyên liệu cần dùng theo định mức:** Tổng nguyên liệu cần dùng là tích ma trận $A$ với vector $X$: $$AX = \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}10 \\ 20 \\ 15 \\ 25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\times10 + 0\times20 + 1\times15 + 3\times25 \\ 1\times10 + 3\times20 + 2\times15 + 0\times25 \\ 0\times10 + 2\times20 + 1\times15 + 2\times25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 + 0 + 15 + 75 \\ 10 + 60 + 30 + 0 \\ 0 + 40 + 15 + 50\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}100 \\ 100 \\ 105\end{pmatrix}$$ 3. **Tính dự trữ nguyên liệu với 10% dự phòng và làm tròn lên:** Dự trữ nguyên liệu cho từng loại là: $$\lceil 100 \times 1.1 \rceil = \lceil 110 \rceil = 110$$ $$\lceil 100 \times 1.1 \rceil = 110$$ $$\lceil 105 \times 1.1 \rceil = \lceil 115.5 \rceil = 116$$ 4. **Tổng số đơn vị nguyên liệu cần dự trữ:** $$110 + 110 + 116 = 336$$ Tuy nhiên, các đáp án cho sẵn là 345, 346, 347, 348. Kiểm tra lại phép tính: Tổng nguyên liệu định mức: - Loại 1: $2\times10 + 0 + 1\times15 + 3\times25 = 20 + 0 + 15 + 75 = 110$ - Loại 2: $1\times10 + 3\times20 + 2\times15 + 0 = 10 + 60 + 30 + 0 = 100$ - Loại 3: $0 + 2\times20 + 1\times15 + 2\times25 = 0 + 40 + 15 + 50 = 105$ Như vậy, tổng nguyên liệu định mức là $(110, 100, 105)$. Dự trữ 10%: - Loại 1: $110 \times 1.1 = 121$ - Loại 2: $100 \times 1.1 = 110$ - Loại 3: $105 \times 1.1 = 115.5$ Làm tròn lên: - Loại 1: $121$ - Loại 2: $110$ - Loại 3: $116$ Tổng dự trữ: $$121 + 110 + 116 = 347$$ **Đáp án: 347** --- 5. **Câu 2:** Cho giới hạn $$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{9 + 6x + a x^2} - 3 - b x}{x^2} = 2$$ 6. **Phân tích biểu thức:** Phát triển khai căn bậc hai bằng khai triển Taylor quanh $x=0$: $$\sqrt{9 + 6x + a x^2} = 3 \sqrt{1 + \frac{6}{9}x + \frac{a}{9}x^2} = 3 \left(1 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} \left(\frac{a}{9} - \frac{1}{9}\right) x^2 + o(x^2) \right)$$ Tính chi tiết: $$\sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8}$$ Ở đây, $u = \frac{6}{9}x + \frac{a}{9}x^2 = \frac{2}{3}x + \frac{a}{9}x^2$ Thay vào: $$\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}x + \frac{a}{9}x^2\right) - \frac{1}{8} \left(\frac{2}{3}x\right)^2 = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{a}{18}x^2 - \frac{1}{8} \times \frac{4}{9} x^2 = 1 + \frac{1}{3}x + \left(\frac{a}{18} - \frac{1}{18}\right) x^2$$ Nhân với 3: $$3 \sqrt{1+u} \approx 3 + x + \left(\frac{a}{6} - \frac{1}{6}\right) x^2$$ 7. **Thay vào biểu thức giới hạn:** $$\frac{\sqrt{9 + 6x + a x^2} - 3 - b x}{x^2} \approx \frac{3 + x + \left(\frac{a}{6} - \frac{1}{6}\right) x^2 - 3 - b x}{x^2} = \frac{(1 - b) x + \left(\frac{a}{6} - \frac{1}{6}\right) x^2}{x^2} = \frac{1 - b}{x} + \frac{a - 1}{6}$$ Để giới hạn tồn tại và bằng 2, hệ số của $\frac{1}{x}$ phải bằng 0: $$1 - b = 0 \Rightarrow b = 1$$ Và giới hạn bằng: $$\frac{a - 1}{6} = 2 \Rightarrow a - 1 = 12 \Rightarrow a = 13$$ 8. **Tính $a - 2b$:** $$a - 2b = 13 - 2 \times 1 = 11$$ **Đáp án: 11** --- 9. **Câu 3:** Bài toán Cauchy: $$(2xy^2 + 3x^2) dx + (2x^2 y + 4 y^3) dy = 0, y(1) = 1$$ 10. **Kiểm tra tính chính tắc:** Đặt $$M = 2xy^2 + 3x^2, \quad N = 2x^2 y + 4 y^3$$ Tính đạo hàm riêng: $$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 4 x y$$ Hai đạo hàm bằng nhau, phương trình là chính tắc. 11. **Tìm hàm thế $F(x,y)$:** $$\frac{\partial F}{\partial x} = M = 2 x y^2 + 3 x^2$$ Tích phân theo $x$: $$F = x^2 y^2 + x^3 + h(y)$$ Đạo hàm theo $y$: $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2 x^2 y + h'(y) = N = 2 x^2 y + 4 y^3$$ Suy ra: $$h'(y) = 4 y^3 \Rightarrow h(y) = y^4 + C$$ 12. **Hàm thế:** $$F(x,y) = x^2 y^2 + x^3 + y^4 = C$$ 13. **Áp dụng điều kiện ban đầu:** $$F(1,1) = 1^2 \times 1^2 + 1^3 + 1^4 = 1 + 1 + 1 = 3$$ Vậy nghiệm là: $$x^2 y^2 + x^3 + y^4 = 3$$ **Đáp án: $x^2 y^2 + x^3 + y^4 = 3$** --- 14. **Câu 4:** Cho ma trận vuông cấp 3 có trị riêng là $2, -1, 4$. Tính $$\det(A^2 - 3A)$$ 15. **Tính trị riêng của $A^2 - 3A$:** Nếu $\lambda$ là trị riêng của $A$, thì trị riêng tương ứng của $A^2 - 3A$ là $$\lambda^2 - 3 \lambda$$ Với các trị riêng đã cho: - $2^2 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2$ - $(-1)^2 - 3 \times (-1) = 1 + 3 = 4$ - $4^2 - 3 \times 4 = 16 - 12 = 4$ 16. **Tính định thức:** $$\det(A^2 - 3A) = (-2) \times 4 \times 4 = -32$$ **Đáp án: -32** --- 17. **Câu 5:** Cho tích phân $$I = \int_0^1 \int_{x^4}^{x^2} e^{x+y} dy dx$$ 18. **Đổi thứ tự tích phân:** Xét miền tích phân: $$x \in [0,1], y \in [x^4, x^2]$$ 19. **Xác định miền mới:** Với $y$ cố định, ta tìm $x$ thỏa mãn: $$x^4 \le y \le x^2$$ Vì $x \in [0,1]$, ta có: - $x^4 \le y$ nghĩa là $x \ge y^{1/4}$ - $y \le x^2$ nghĩa là $x \ge \sqrt{y}$ Nhưng $\sqrt{y} \ge y^{1/4}$ với $y \in [0,1]$. Vậy miền tích phân mới là: $$y \in [0,1], x \in [y^{1/4}, \sqrt{y}]$$ 20. **Viết lại tích phân:** $$I = \int_0^1 \int_{y^{1/4}}^{\sqrt{y}} e^{x+y} dx dy$$ **Đáp án: $\int_0^1 \int_{y^{1/4}}^{\sqrt{y}} e^{x+y} dx dy$** --- **Tổng số câu trả lời: 5**