Folge Berechnung 96F4B8

1. **Problemstellung:** Wir sollen die nächsten drei Glieder der Folgen (i) 3; 7; 15; 31; ... und (ii) 1; -2; 4; -8; ... aufschreiben und die Bildungsvorschrift in Worten beschreiben. 2. **Formel und Regeln:** Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen. Die Bildungsvorschrift beschreibt, wie man von einem Glied zum nächsten kommt. 3. **Lösung für (i):** - Die Folge lautet 3, 7, 15, 31, ... - Beobachte die Differenzen: 7-3=4, 15-7=8, 31-15=16, die Differenzen verdoppeln sich. - Die nächsten Differenzen sind 32, 64, 128. - Die nächsten drei Glieder sind: $$31 + 32 = 63$$ $$63 + 64 = 127$$ $$127 + 128 = 255$$ - Bildungsvorschrift in Worten: Jedes Glied ist das vorherige Glied plus das Doppelte der Differenz zum vorherigen Differenzwert. 4. **Lösung für (ii):** - Folge: 1, -2, 4, -8, ... - Beobachte das Vorzeichen wechselt und der Betrag verdoppelt sich. - Die nächsten drei Glieder sind: $$-8 \times (-2) = 16$$ $$16 \times (-2) = -32$$ $$-32 \times (-2) = 64$$ - Bildungsvorschrift in Worten: Jedes Glied ist das vorherige Glied multipliziert mit -2. 5. **Aufgabe b:** Gib die ersten vier Glieder von $$a_n = (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}$$ an. - Berechnung: $$a_1 = (-1)^1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$$ $$a_2 = (-1)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$ $$a_3 = (-1)^3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$$ $$a_4 = (-1)^4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{5}$$ **Endergebnis:** - (i) Nächste drei Glieder: 63, 127, 255 - (ii) Nächste drei Glieder: 16, -32, 64 - (b) Erste vier Glieder: $-\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$