Question: User: 5
De lengte van de boog ACB verhoudt zich tot de lengte van de boog ADB zoals 3 tot 5.
Bepaal in radialen de grootte van de hoek AÔB, die de boog ACB onderspant.
1. **Probleemstelling:**
We weten dat de lengte van boog ACB tot de lengte van boog ADB zich verhoudt als 3 tot 5.
We moeten de grootte van de hoek AÔB in radialen bepalen, die de boog ACB onderspant.
2. **Belangrijke formule:**
De lengte van een boog $l$ in een cirkel met straal $r$ en middelpuntshoek $\theta$ (in radialen) is:
$$ l = r \theta $$
3. **Analyse van de gegeven verhouding:**
- Laat de hoek die boog ACB onderspant $\alpha$ zijn.
- Laat de hoek die boog ADB onderspant $\beta$ zijn.
Omdat boog ADB de grotere boog is die samen met boog ACB de hele cirkel vormt, geldt:
$$ \alpha + \beta = 2\pi $$
De lengtes van de bogen verhouden zich als 3 tot 5, dus:
$$ \frac{l_{ACB}}{l_{ADB}} = \frac{3}{5} $$
Omdat $l = r\theta$ en de straal $r$ gelijk is voor beide bogen, geldt:
$$ \frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{5} $$
4. **Berekening van $\alpha$ en $\beta$:**
$$ \beta = \frac{5}{3} \alpha $$
Invullen in de som van hoeken:
$$ \alpha + \beta = 2\pi $$
$$ \alpha + \frac{5}{3} \alpha = 2\pi $$
$$ \frac{3}{3} \alpha + \frac{5}{3} \alpha = 2\pi $$
$$ \frac{8}{3} \alpha = 2\pi $$
5. **Oplossen voor $\alpha$:**
$$ \alpha = 2\pi \times \frac{3}{8} = \frac{3\pi}{4} $$
**Antwoord:**
De grootte van de hoek AÔB die de boog ACB onderspant is $$\frac{3\pi}{4}$$ radialen.