Optimale Uitgaven 133E41

1. **Probleemstelling:** We willen de uitgaven van de student minimaliseren onder de voorwaarde dat het nutniveau $$U(x_1,x_2,x_3) = x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ gelijk is aan 20. 2. **Formule en regels:** De totale kosten zijn: $$C = 4x_1 + 5x_2 + 7x_3$$ We willen $$C$$ minimaliseren met de constraint: $$x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2} = 20$$ 3. **Gebruik van Lagrange-multiplicatoren:** We stellen de Lagrange-functie op: $$\mathcal{L} = 4x_1 + 5x_2 + 7x_3 - \lambda \left(x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2} - 20\right)$$ 4. **Afgeleiden nemen en gelijkstellen aan nul:** $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = 4 - \lambda \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2} = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 5 - \lambda \cdot 0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2} = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_3} = 7 - \lambda \cdot 0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8} = 0$$ 5. **Los op voor $$\lambda$$ uit elke vergelijking:** $$\lambda = \frac{4}{0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}} = \frac{5}{0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2}} = \frac{7}{0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8}}$$ 6. **Vergelijk de eerste twee uitdrukkingen:** $$\frac{4}{0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}} = \frac{5}{0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2}}$$ Vermenigvuldig beide zijden met de noemers: $$4 \cdot 0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2} = 5 \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ 7. **Vereenvoudig:** $$2 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2} = 1,5 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ 8. **Deel beide zijden door $$x_3^{0,2}$$:** $$2 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} = 1,5 x_1^{-0,7} x_2^{0,5}$$ 9. **Breng alle machten van $$x_1$$ en $$x_2$$ naar één kant:** $$2 x_1^{0,3 + 0,7} = 1,5 x_2^{0,5 + 0,5}$$ $$2 x_1^{1} = 1,5 x_2^{1}$$ 10. **Los op voor $$x_2$$:** $$x_2 = \frac{2}{1,5} x_1 = \frac{4}{3} x_1$$ 11. **Vergelijk de eerste en derde uitdrukking voor $$\lambda$$:** $$\frac{4}{0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}} = \frac{7}{0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8}}$$ 12. **Vermenigvuldig beide zijden met de noemers:** $$4 \cdot 0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8} = 7 \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ 13. **Vereenvoudig:** $$0,8 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8} = 2,1 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ 14. **Deel beide zijden door $$x_2^{0,5}$$:** $$0,8 x_1^{0,3} x_3^{-0,8} = 2,1 x_1^{-0,7} x_3^{0,2}$$ 15. **Breng alle machten van $$x_1$$ en $$x_3$$ naar één kant:** $$0,8 x_1^{0,3 + 0,7} = 2,1 x_3^{0,2 + 0,8}$$ $$0,8 x_1^{1} = 2,1 x_3^{1}$$ 16. **Los op voor $$x_3$$:** $$x_3 = \frac{0,8}{2,1} x_1 = \frac{8}{21} x_1$$ 17. **Gebruik de constraint:** $$x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2} = 20$$ Vervang $$x_2$$ en $$x_3$$ door hun uitdrukkingen in $$x_1$$: $$x_1^{0,3} \left(\frac{4}{3} x_1\right)^{0,5} \left(\frac{8}{21} x_1\right)^{0,2} = 20$$ 18. **Herschrijf:** $$x_1^{0,3} x_1^{0,5} x_1^{0,2} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{0,5} \left(\frac{8}{21}\right)^{0,2} = 20$$ 19. **Sommeer de machten van $$x_1$$:** $$x_1^{0,3 + 0,5 + 0,2} = x_1^{1}$$ 20. **Bereken de constante factor:** $$\left(\frac{4}{3}\right)^{0,5} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\left(\frac{8}{21}\right)^{0,2} = e^{0,2 \ln(\frac{8}{21})} \approx 0,802$$ 21. **Vervang:** $$x_1 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 0,802 = 20$$ 22. **Los op voor $$x_1$$:** $$x_1 = \frac{20}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 0,802} = \frac{20}{\frac{1,604}{\sqrt{3}}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{1,604} \approx 20 \cdot 1,08 = 21,6$$ 23. **Bereken $$x_2$$ en $$x_3$$:** $$x_2 = \frac{4}{3} \times 21,6 = 28,8$$ $$x_3 = \frac{8}{21} \times 21,6 = 8,23$$ 24. **Conclusie:** De student besteedt optimaal aan: - $$x_1 \approx 21,6$$ maaltijden - $$x_2 \approx 28,8$$ films - $$x_3 \approx 8,23$$ ritten vervoer Deze verdeling minimaliseert de uitgaven terwijl het nutniveau 20 blijft.