Optimale Uitgaven 81Ac0D

1. **Probleemstelling:** We willen de uitgaven van de student minimaliseren onder de voorwaarde dat het nutsniveau $$U(x_1,x_2,x_3) = x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ gelijk is aan 20. 2. **Formule en regels:** De totale uitgave is $$C = 4x_1 + 5x_2 + 7x_3$$. We willen $$\min C$$ onder de constraint $$x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2} = 20$$. 3. **Gebruik van Lagrange-multiplicator:** Definieer de Lagrange-functie: $$\mathcal{L} = 4x_1 + 5x_2 + 7x_3 - \lambda \left(x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{0,2} - 20\right)$$ 4. **Afgeleiden nemen en gelijkstellen aan nul:** $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = 4 - \lambda \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2} = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 5 - \lambda \cdot 0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2} = 0$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_3} = 7 - \lambda \cdot 0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8} = 0$$ 5. **Herformuleren van vergelijkingen:** Van de eerste: $$4 = \lambda \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ Van de tweede: $$5 = \lambda \cdot 0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2}$$ Van de derde: $$7 = \lambda \cdot 0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8}$$ 6. **Verhoudingen tussen $x_1$, $x_2$, $x_3$ vinden:** De linker zijden zijn constanten, dus we kunnen de rechter zijden gelijkstellen via $\lambda$: Van vergelijking 1 en 2: $$\frac{4}{0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}} = \frac{5}{0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2}}$$ Vermenigvuldig beide zijden: $$4 \cdot 0,5 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} x_3^{0,2} = 5 \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ Simplificeer $x_3^{0,2}$ aan beide kanten: $$2 x_1^{0,3} x_2^{-0,5} = 1,5 x_1^{-0,7} x_2^{0,5}$$ Breng alle $x_1$ en $x_2$ naar één kant: $$2 x_1^{0,3 + 0,7} = 1,5 x_2^{0,5 + 0,5}$$ $$2 x_1^{1} = 1,5 x_2^{1}$$ Dus: $$\frac{x_1}{x_2} = \frac{1,5}{2} = 0,75$$ 7. **Vergelijking 1 en 3:** $$\frac{4}{0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}} = \frac{7}{0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8}}$$ Vermenigvuldig: $$4 \cdot 0,2 x_1^{0,3} x_2^{0,5} x_3^{-0,8} = 7 \cdot 0,3 x_1^{-0,7} x_2^{0,5} x_3^{0,2}$$ Simplificeer $x_2^{0,5}$: $$0,8 x_1^{0,3} x_3^{-0,8} = 2,1 x_1^{-0,7} x_3^{0,2}$$ Breng alle machten naar één kant: $$0,8 x_1^{0,3 + 0,7} = 2,1 x_3^{0,2 + 0,8}$$ $$0,8 x_1^{1} = 2,1 x_3^{1}$$ Dus: $$\frac{x_1}{x_3} = \frac{2,1}{0,8} = 2,625$$ 8. **Samenvatting verhoudingen:** $$x_1 = 0,75 x_2$$ $$x_1 = 2,625 x_3$$ 9. **Expressie van $x_2$ en $x_3$ in functie van $x_1$:** $$x_2 = \frac{x_1}{0,75} = \frac{4}{3} x_1$$ $$x_3 = \frac{x_1}{2,625} = \frac{8}{21} x_1$$ 10. **Constraint invullen:** $$x_1^{0,3} \left(\frac{4}{3} x_1\right)^{0,5} \left(\frac{8}{21} x_1\right)^{0,2} = 20$$ Schrijf uit: $$x_1^{0,3} x_1^{0,5} x_1^{0,2} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{0,5} \left(\frac{8}{21}\right)^{0,2} = 20$$ Som van exponenten van $x_1$ is $0,3 + 0,5 + 0,2 = 1$: $$x_1 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{0,5} \left(\frac{8}{21}\right)^{0,2} = 20$$ 11. **Bereken de constante factor:** $$\left(\frac{4}{3}\right)^{0,5} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,1547$$ $$\left(\frac{8}{21}\right)^{0,2} = e^{0,2 \ln(8/21)} \approx e^{0,2 \times (-0,9624)} = e^{-0,1925} \approx 0,825$$ Vermenigvuldig: $$1,1547 \times 0,825 \approx 0,952$$ 12. **Los op voor $x_1$:** $$x_1 \times 0,952 = 20 \Rightarrow x_1 = \frac{20}{0,952} \approx 21,01$$ 13. **Bereken $x_2$ en $x_3$:** $$x_2 = \frac{4}{3} \times 21,01 \approx 28,01$$ $$x_3 = \frac{8}{21} \times 21,01 \approx 8,00$$ 14. **Conclusie:** De student besteedt zijn geld optimaal door ongeveer: - $$x_1 = 21$$ maaltijden - $$x_2 = 28$$ films - $$x_3 = 8$$ ritten vervoer Dit minimaliseert zijn uitgaven terwijl hij een nutsniveau van 20 behoudt. 15. **Totale uitgave:** $$C = 4 \times 21,01 + 5 \times 28,01 + 7 \times 8,00 = 84,04 + 140,05 + 56 = 280,09$$ Dus de minimale uitgave is ongeveer $$280,09$$ euro per twee maanden.