Question: حدد جميع الأعداد الطبيعية الموجبة $n>1$ التي تحقق الخاصية: إذا كانت $d_1, d_2, \ldots, d_k$ هي كل القواسم الموجبة للعدد $n$، حيث: $1=d_1
1. **بيان المسألة:**
نريد تحديد جميع الأعداد الطبيعية الموجبة $n>1$ بحيث إذا كانت $d_1, d_2, \ldots, d_k$ هي كل القواسم الموجبة للعدد $n$ مرتبة تصاعدياً بحيث $1=d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$، فإن لكل $i$ حيث $1 \leq i \leq k-2$، القاسم $d_i$ يقسم مجموع $d_{i+1} + d_{i+2}$.
2. **فهم الخاصية:**
الخاصية تعني:
$$
\forall i \in \{1, \ldots, k-2\}, \quad d_i \mid d_{i+1} + d_{i+2}
$$
أي أن $d_i$ يقسم $d_{i+1} + d_{i+2}$.
3. **تحليل القواسم:**
- $d_1 = 1$ دائماً.
- $d_k = n$.
- القواسم مرتبة تصاعدياً.
4. **نبدأ بفحص القيم الصغيرة:**
- إذا كان $n$ عدد أولي، فإن القواسم هي $1$ و $n$ فقط، أي $k=2$.
- الشرط يطلب تحقق القسمة لكل $i$ من $1$ إلى $k-2$، فإذا كان $k=2$، لا يوجد $i$ يحقق $1 \leq i \leq 0$، أي الشرط محقق تلقائياً.
5. **إذا كان $n$ عدد أولي:**
- الشرط محقق.
6. **نختبر $n$ مركب:**
- لنأخذ مثالاً $n=6$ وقواسمه: $1, 2, 3, 6$.
- نتحقق من الشرط:
- $i=1$: $d_1=1$ يقسم $d_2 + d_3 = 2 + 3 = 5$، صحيح لأن 1 يقسم أي عدد.
- $i=2$: $d_2=2$ يقسم $d_3 + d_4 = 3 + 6 = 9$؟ لا، لأن 2 لا تقسم 9.
- إذن $n=6$ لا تحقق الشرط.
7. **نختبر $n=4$ وقواسمه: $1, 2, 4$**
- $k=3$، الشرط يطبق فقط على $i=1$ لأن $k-2=1$.
- $i=1$: $d_1=1$ يقسم $d_2 + d_3 = 2 + 4 = 6$، صحيح.
- إذن $n=4$ تحقق الشرط.
8. **نختبر $n=8$ وقواسمه: $1, 2, 4, 8$**
- $k=4$، الشرط يطبق على $i=1,2$.
- $i=1$: $d_1=1$ يقسم $d_2 + d_3 = 2 + 4 = 6$، صحيح.
- $i=2$: $d_2=2$ يقسم $d_3 + d_4 = 4 + 8 = 12$، صحيح.
- إذن $n=8$ تحقق الشرط.
9. **نلاحظ نمطاً:**
- الأعداد التي تحقق الشرط هي قوى العدد 2: $2,4,8,16,\ldots$
- نثبت ذلك:
10. **برهان مبدئي:**
- القواسم لـ $n=2^m$ هي $1, 2, 2^2, \ldots, 2^m$.
- لكل $i$, $d_i = 2^{i-1}$.
- نتحقق من الشرط:
$$
d_i = 2^{i-1} \mid d_{i+1} + d_{i+2} = 2^i + 2^{i+1} = 2^i (1 + 2) = 3 \cdot 2^i
$$
- بما أن $d_i = 2^{i-1}$، فإن:
$$
\frac{d_{i+1} + d_{i+2}}{d_i} = \frac{3 \cdot 2^i}{2^{i-1}} = 3 \cdot 2 = 6
$$
- 6 عدد صحيح، إذن القسمة صحيحة.
11. **التحقق من أعداد أخرى:**
- إذا كان $n$ يحتوي على قواسم ليست قوى 2، الشرط يفشل كما في مثال $n=6$.
12. **النتيجة:**
- الأعداد الطبيعية الموجبة $n>1$ التي تحقق الخاصية هي الأعداد التي هي قوى للعدد 2، أي:
$$
n = 2^m \quad \text{حيث} \quad m \geq 1
$$
**الجواب النهائي:**
جميع الأعداد الطبيعية الموجبة $n>1$ التي تحقق الخاصية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل $2^m$ حيث $m$ عدد صحيح موجب.