Question: 2) $x_1 = \text{ingezette arbeid /dag } (u)$
$x_2 = \text{ingezette kapitaal/dag } (\euro)$
$p(x_1,x_2) = x_1^{3/4} x_2^{1/4}$ $\to$ productie per dag
Stel arbeid kost €30/uur en per dag is €10.000 beschikbaar
Maximale productie?
te maximaliseren functie: $x_1^{3/4} x_2^{1/4}$
Randvoorwaarde: $30x_1 + x_2 = 10.000$
OEF: 1) substitueer $x_2 = 10.000 - 30x_1$ in de te maximaliseren functie.
2) los op met de methode van lagrange ($L(x_1,x_2,\lambda) = x_1^{3/4} x_2^{1/4} - \lambda (30x_1 + x_2 - 10.000)$)
1. **Probleemstelling:**
We willen de productie per dag $p(x_1,x_2) = x_1^{3/4} x_2^{1/4}$ maximaliseren onder de randvoorwaarde $30x_1 + x_2 = 10.000$.
2. **Substitutie methode:**
Substitueer $x_2 = 10.000 - 30x_1$ in de productiefunctie:
$$p(x_1) = x_1^{3/4} (10.000 - 30x_1)^{1/4}$$
3. **Maximaliseren via Lagrange methode:**
Definieer de Lagrange functie:
$$L(x_1,x_2,\lambda) = x_1^{3/4} x_2^{1/4} - \lambda (30x_1 + x_2 - 10.000)$$
4. **Afgeleiden nemen:**
$$\frac{\partial L}{\partial x_1} = \frac{3}{4} x_1^{-1/4} x_2^{1/4} - 30\lambda = 0$$
$$\frac{\partial L}{\partial x_2} = \frac{1}{4} x_1^{3/4} x_2^{-3/4} - \lambda = 0$$
$$30x_1 + x_2 = 10.000$$
5. **Los op voor $\lambda$ uit de tweede vergelijking:**
$$\lambda = \frac{1}{4} x_1^{3/4} x_2^{-3/4}$$
6. **Vervang $\lambda$ in de eerste vergelijking:**
$$\frac{3}{4} x_1^{-1/4} x_2^{1/4} = 30 \times \frac{1}{4} x_1^{3/4} x_2^{-3/4}$$
7. **Vereenvoudigen:**
$$\frac{3}{4} x_1^{-1/4} x_2^{1/4} = \frac{30}{4} x_1^{3/4} x_2^{-3/4}$$
8. **Breng alle termen naar één kant:**
$$3 x_1^{-1/4} x_2^{1/4} = 30 x_1^{3/4} x_2^{-3/4}$$
9. **Schrijf als machten van $x_1$ en $x_2$:**
$$3 x_1^{-1/4} x_2^{1/4} = 30 x_1^{3/4} x_2^{-3/4}$$
10. **Deel beide zijden door $x_1^{-1/4} x_2^{-3/4}$:**
$$3 \cancel{x_1^{-1/4}} \cancel{x_2^{1/4}} \times x_2^{1/4 + 3/4} = 30 \cancel{x_1^{3/4}} \cancel{x_2^{-3/4}} \times x_1^{3/4 + 1/4}$$
Maar dit is onjuist, beter om te herschrijven als:
$$3 x_1^{-1/4} x_2^{1/4} = 30 x_1^{3/4} x_2^{-3/4}$$
Deel beide zijden door $x_1^{-1/4} x_2^{-3/4}$:
$$3 x_2^{1/4 + 3/4} = 30 x_1^{3/4 + 1/4}$$
$$3 x_2^{1} = 30 x_1^{1}$$
11. **Dus:**
$$3 x_2 = 30 x_1$$
$$x_2 = 10 x_1$$
12. **Gebruik de randvoorwaarde:**
$$30 x_1 + x_2 = 10.000$$
Vervang $x_2$:
$$30 x_1 + 10 x_1 = 10.000$$
$$40 x_1 = 10.000$$
$$x_1 = \frac{10.000}{40} = 250$$
13. **Bereken $x_2$:**
$$x_2 = 10 x_1 = 10 \times 250 = 2.500$$
14. **Bereken maximale productie:**
$$p = x_1^{3/4} x_2^{1/4} = 250^{3/4} \times 2.500^{1/4}$$
15. **Bereken afzonderlijk:**
$$250^{3/4} = (250^{1/4})^3$$
$$250^{1/4} = \sqrt{\sqrt{250}} \approx 3.973$$
Dus:
$$250^{3/4} = 3.973^3 \approx 62.7$$
$$2.500^{1/4} = \sqrt{\sqrt{2.500}} \approx 6.3$$
16. **Totale productie:**
$$p \approx 62.7 \times 6.3 = 394.0$$
**Antwoord:**
De maximale productie is ongeveer $394$ eenheden per dag bij $x_1 = 250$ uur arbeid en $x_2 = 2.500$ kapitaal.