Question: Una compañía ha presupuestado un máximo de $1 000 000 para publicidad nacional de un medicamento contra alergias. Cada minuto de tiempo en televisión cuesta $100 000 y cada anuncio de una página en periódicos cuesta $20 000. Se espera que cada anuncio en televisión sea visto por 20 millones de televidentes, y que cada anuncio en periódicos sea visto por 5 millones de lectores. El departamento de investigación de mercados de la compañía recomienda que, como máximo, se gaste 80% del presupuesto de publicidad en anuncios por televisión. ¿Cuál es la cantidad óptima que debe gastarse en cada tipo de anuncio? ¿cuál es la audiencia óptima total?

1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un presupuesto máximo de $1000000$ para publicidad. Cada minuto de anuncio en televisión cuesta $100000$ y cada anuncio en periódico cuesta $20000$. Cada anuncio en televisión alcanza a $20$ millones de televidentes y cada anuncio en periódico a $5$ millones de lectores. El gasto en televisión no debe superar el $80\%$ del presupuesto total. Queremos maximizar la audiencia total. 2. **Definición de variables:** Sea $x$ el número de minutos de anuncios en televisión. Sea $y$ el número de anuncios en periódicos. 3. **Función objetivo (audiencia total):** $$A = 20x + 5y$$ (En millones de personas) 4. **Restricciones:** - Presupuesto total: $$100000x + 20000y \leq 1000000$$ - Presupuesto en televisión máximo 80%: $$100000x \leq 0.8 \times 1000000 = 800000$$ - No negatividad: $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$ 5. **Simplificar restricciones:** - De la restricción de presupuesto total: $$100000x + 20000y \leq 1000000$$ Dividimos todo entre $10000$ para simplificar: $$10x + 2y \leq 100$$ - De la restricción de televisión: $$100000x \leq 800000 \Rightarrow x \leq 8$$ 6. **Encontrar los vértices del polígono factible:** Las restricciones son: $$x \geq 0, y \geq 0, x \leq 8, 10x + 2y \leq 100$$ - Cuando $x=0$: $$2y \leq 100 \Rightarrow y \leq 50$$ - Cuando $y=0$: $$10x \leq 100 \Rightarrow x \leq 10$$ pero por la restricción $x \leq 8$, entonces $x \leq 8$. 7. **Vértices a evaluar:** - Punto A: $(0,0)$ - Punto B: $(0,50)$ - Punto C: $(8,y)$ tal que $10(8) + 2y = 100 \Rightarrow 80 + 2y = 100 \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10$ - Punto D: $(8,0)$ 8. **Evaluar la función objetivo en cada vértice:** - $A(0,0): A = 20(0) + 5(0) = 0$ - $B(0,50): A = 20(0) + 5(50) = 250$ - $C(8,10): A = 20(8) + 5(10) = 160 + 50 = 210$ - $D(8,0): A = 20(8) + 5(0) = 160$ 9. **Conclusión:** La audiencia máxima es $250$ millones, alcanzada con $x=0$ minutos de televisión y $y=50$ anuncios en periódicos. 10. **Verificación de la restricción de televisión:** Gasto en televisión es $100000 \times 0 = 0$, que es menor que $800000$, cumple la restricción. **Respuesta final:** - Cantidad óptima a gastar en televisión: $0$ - Cantidad óptima a gastar en periódicos: $20000 \times 50 = 1000000$ - Audiencia óptima total: $250$ millones de personas.