Question: Leuchtdioden (LEDs) werden häufig als Beleuchtungsmittel verwendet.
Aufgabe
Die Lebensdauer von LEDs ist abhängig von der Temperatur am LED-Chip. Auf einer Website ist
dieser Zusammenhang grafisch dargestellt (siehe nachstehende Abbildung).
Lebensdauer in Betriebsstunden
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
0
80
100
120
140
160
180
200
220
Temperatur am
LED-Chip in °C
Quelle: https://www.led-studien.de/wp-content/uploads/2015/10/Lebensdauer-nach-LED-Temperatur.png [16.08.2019] (adaptiert).
Ermitteln Sie die mittlere Änderungsrate der Lebensdauer bei Erhöhung der Temperatur von 140 °C
auf 160 °C.
1. **Problemstellung:**
Wir sollen die mittlere Änderungsrate der Lebensdauer von LEDs bei einer Temperaturerhöhung von $140^\circ C$ auf $160^\circ C$ bestimmen.
2. **Wichtige Formel:**
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f(x)$ zwischen zwei Punkten $x=a$ und $x=b$ ist definiert als:
$$\text{mittlere Änderungsrate} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
3. **Gegebene Werte aus dem Graphen:**
- Lebensdauer bei $140^\circ C$: ca. $60\,000$ Stunden
- Lebensdauer bei $160^\circ C$: ca. $30\,000$ Stunden
4. **Berechnung:**
$$\frac{f(160) - f(140)}{160 - 140} = \frac{30\,000 - 60\,000}{160 - 140} = \frac{-30\,000}{20}$$
5. **Zwischenschritt mit Kürzung:**
$$\frac{\cancel{-30\,000}}{\cancel{20}} = -1500$$
6. **Interpretation:**
Die mittlere Änderungsrate beträgt $-1500$ Stunden pro Grad Celsius.
Das bedeutet, dass die Lebensdauer der LED im Mittel um $1500$ Stunden sinkt, wenn die Temperatur um $1^\circ C$ von $140^\circ C$ auf $160^\circ C$ steigt.