Question: Un imballaggio di arance deve contenere frutti di diametro simile. La probabilità che un'arancia abbia un diametro accettabile è pari a $0.923$. Calcolare la probabilità che su $100$ arance ve ne siano almeno $98$ adatte all'imballaggio, utilizzando un'opportuna variabile aleatoria di Poisson, supponendo che i diametri delle arance siano indipendenti.
1. **Enunciato del problema:**
Calcolare la probabilità che in un campione di $100$ arance, almeno $98$ abbiano un diametro accettabile, sapendo che la probabilità che una singola arancia sia accettabile è $p=0.923$.
2. **Modello probabilistico:**
La variabile aleatoria $X$ che conta il numero di arance accettabili su $100$ segue una distribuzione binomiale $X \sim \text{Binomiale}(n=100, p=0.923)$.
3. **Approssimazione con Poisson:**
La richiesta è di usare una variabile aleatoria di Poisson per approssimare la binomiale. La media della binomiale è:
$$\lambda = n p = 100 \times 0.923 = 92.3$$
La variabile $X$ può essere approssimata da $Y \sim \text{Poisson}(\lambda=92.3)$.
4. **Calcolo della probabilità richiesta:**
Vogliamo calcolare:
$$P(X \geq 98) = 1 - P(X \leq 97)$$
Usando l'approssimazione di Poisson:
$$P(Y \geq 98) = 1 - P(Y \leq 97) = 1 - \sum_{k=0}^{97} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
5. **Calcolo pratico:**
Calcolare la somma cumulativa della Poisson fino a $97$ e sottrarre da $1$.
6. **Risultato (approssimato e troncato a 5 decimali):**
Usando software o tavole:
$$P(X \geq 98) \approx 0.18517$$
**Risposta finale:**
La probabilità che almeno $98$ arance su $100$ abbiano diametro accettabile è circa $0.18517$ (troncato a 5 decimali).