Question: Si mettono a caso $160686$ oggetti in $25637$ cassetti, indipendentemente uno dall'altro. Approssimare, usando una opportuna variabile di Poisson, la probabilità che il primo cassetto contenga esattamente $9$ oggetti. Troncare a $4$ decimali.
1. **Enunciato del problema:**
Si distribuiscono $160686$ oggetti in $25637$ cassetti in modo casuale e indipendente. Si vuole approssimare la probabilità che il primo cassetto contenga esattamente $9$ oggetti.
2. **Modello e formula:**
Poiché gli oggetti sono distribuiti casualmente e indipendentemente, il numero di oggetti in un cassetto può essere approssimato da una variabile casuale di Poisson con parametro $$\lambda = \frac{160686}{25637}$$
3. **Calcolo del parametro $$\lambda$$:**
$$\lambda = \frac{160686}{25637} \approx 6.269$$
4. **Probabilità di avere esattamente $k=9$ oggetti in un cassetto:**
La formula della distribuzione di Poisson è:
$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$
5. **Calcolo della probabilità:**
$$P(X=9) = \frac{6.269^9 e^{-6.269}}{9!}$$
Calcoliamo passo passo:
- $9! = 362880$
- $6.269^9 \approx 6.269^{9} = 6.269 \times 6.269 \times ...$ (9 volte) $\approx 1.44 \times 10^{7}$ (approssimato)
- $e^{-6.269} \approx 0.0019$
Quindi:
$$P(X=9) \approx \frac{1.44 \times 10^{7} \times 0.0019}{362880} \approx \frac{27360}{362880} \approx 0.0754$$
6. **Risposta finale:**
La probabilità che il primo cassetto contenga esattamente $9$ oggetti è approssimativamente $$0.0754$$ (troncata a 4 decimali).