Probabilità Arance E3A51C

1. **Enunciato del problema:** Calcolare la probabilità che, su $100$ arance, almeno $98$ abbiano un diametro accettabile, sapendo che la probabilità che un'arancia abbia un diametro accettabile è $0.923$. 2. **Definizione della variabile aleatoria:** Sia $X$ il numero di arance con diametro accettabile su $100$. $X$ segue una distribuzione binomiale $B(n=100, p=0.923)$. 3. **Approssimazione con la distribuzione di Poisson:** La distribuzione binomiale può essere approssimata da una distribuzione di Poisson quando $n$ è grande e $p$ è vicino a zero o uno, ma in questo caso useremo la variabile $Y = 100 - X$ che conta le arance non accettabili. La probabilità che un'arancia non sia accettabile è $q = 1 - p = 1 - 0.923 = 0.077$. Quindi $Y$ segue una binomiale $B(n=100, q=0.077)$. Poiché $q$ è piccolo, possiamo approssimare $Y$ con una variabile di Poisson con parametro $$\lambda = n \times q = 100 \times 0.077 = 7.7.$$ 4. **Calcolo della probabilità richiesta:** Vogliamo la probabilità che almeno $98$ arance siano accettabili, cioè che al massimo $2$ arance non siano accettabili: $$P(X \geq 98) = P(Y \leq 2).$$ Usando la distribuzione di Poisson: $$P(Y \leq 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0!} + e^{-\lambda} \frac{\lambda^1}{1!} + e^{-\lambda} \frac{\lambda^2}{2!}.$$ 5. **Calcolo numerico:** $$e^{-7.7} \approx 0.000454,$$ $$P(Y=0) = 0.000454,$$ $$P(Y=1) = 0.000454 \times 7.7 = 0.0035,$$ $$P(Y=2) = 0.000454 \times \frac{7.7^2}{2} = 0.000454 \times \frac{59.29}{2} = 0.000454 \times 29.645 = 0.01345.$$ 6. **Somma delle probabilità:** $$P(Y \leq 2) = 0.000454 + 0.0035 + 0.01345 = 0.0174.$$ 7. **Risposta finale:** La probabilità che almeno $98$ arance su $100$ abbiano un diametro accettabile è circa $0.0174$ o $1.74\%$.